Question

【题目】对于函数f(x)，若f(x0)＝x0，则称x0为f(x)的“不动点”；若f[f(x0)]＝x0，则称x0为f(x)的“稳定点”．函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A＝{x|f(x)＝x}，B＝{x|f[f(x)]＝x}．

(1)设函数f(x)＝2x＋1，求集合A和B；

(2)求证AB.

Answer 1

【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.

【解析】试题分析:(1) 由f(x)＝x，解出x的值即集合A的元素; 由f[f(x)]＝x，解出x的值即集合B的元素;(2) 若A＝，则AB显然成立；若A≠，设t为A中任意一个元素，由f[f(t)]＝f(t)＝t∈B，可得AB.

试题解析:

(1)由f(x)＝x，得2x＋1＝x，解得x＝－1；

由f[f(x)]＝x，得2(2x＋1)＋1＝x，解得x＝－1，

∴集合A＝{－1}，B＝{－1}．

(2)证明：若A＝，则AB显然成立；

若A≠，设t为A中任意一个元素，则有f(t)＝t，

∴f[f(t)]＝f(t)＝t，故t∈B，

∴AB.