题目内容
18.已知函数f(x)=$\sqrt{3}$sin(ωx+φ)(ω>0,-$\frac{π}{2}$≤φ≤$\frac{π}{2}$)的图象关于直线x=$\frac{π}{2}$对称,且图象上相邻2个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值;
(2)若f($\frac{α}{2}$)=$\frac{\sqrt{3}}{4}$($\frac{π}{6}$<α<$\frac{2π}{3}$),求cos(α+$\frac{3π}{2}$)的值.
分析 (1)由条件利用正弦函数的周期性求得ω=2,再根据f(x)的图象关于直线x=$\frac{π}{2}$对称求得φ的值,可得f(x)的解析式.
(2)由f($\frac{α}{2}$)=$\frac{\sqrt{3}}{4}$,求得cosα的值,可得cos(α+$\frac{3π}{2}$)=sinα 的值.
解答 解:(1)由函数f(x)=$\sqrt{3}$sin(ωx+φ)的图象上相邻2个最高点的距离为π,
可得函数的周期为$\frac{2π}{ω}$=π,求得ω=2.
再根据f(x)的图象关于直线x=$\frac{π}{2}$对称,可得2×$\frac{π}{2}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z,
再结合-$\frac{π}{2}$≤φ≤$\frac{π}{2}$,可得φ=-$\frac{π}{2}$,f(x)=$\sqrt{3}$sin(2x-$\frac{π}{2}$)=-$\sqrt{3}$cos2x.
(2)∵f($\frac{α}{2}$)=-$\sqrt{3}$cosα=$\frac{\sqrt{3}}{4}$,∴cosα=-$\frac{1}{4}$.
再根据 $\frac{π}{6}$<α<$\frac{2π}{3}$,∴sinα=$\sqrt{{1-cos}^{2}α}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$,∴cos(α+$\frac{3π}{2}$)=sinα=$\frac{\sqrt{15}}{4}$.
点评 本题主要考查正弦函数的周期性,正弦函数的图象的对称性,同角三角函数的基本关系和诱导公式,属于基础题.
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