题目内容
【题目】已知函数是奇函数.
(1)求实数的值;
(2)判断函数的单调性,并用定义证明;
(3)当时,求函数
的值域.
【答案】(1);
(2)函数是单调递增函数;
(3)时,值域为:
;
时,值域为:
.
【解析】
(1)由函数是奇函数,利用函数的定义域为
时,奇函数在0处有定义,则
即可解的
的值;
(2)由题意利用函数的单调性的定义加以证明函数的单调性,;
(3)由题意先求出函数的值域,令函数
为
利用“对勾”函数的单调性求出定义域下的函数的值域.
(1)因为函数定义域为
且函数
是奇函数,
,
(2) 函数是单调递增函数.证明如下:
由(1)得,因为定义域为
, 所以任取
,且
,
,
,又
,
,所以
,
是单调递增函数;
(3)由(2)得,是单调递增函数,所以
时,
,所以
,
所以令,
任取,且
,
则,
因为,所以
,又因为
,所以
,
所以当时,
,所以
,所以
在
单调递减;
当时,
时,
,而
时,
,
即在
单调递减,在
单调递增;
所以当时,
,
即当时,函数
的值域为:
当时,
,
即当时,函数
的值域为:
.
综上可得:
时,函数
的值域为:
.
时,函数
的值域为:
;
故得解.
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