题目内容

(本小题满分14分)
已知函数f(x)=(x2+ax-2a-3)·e3-x (a∈R)
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设g(x)=(a2+)ex(a>0),若存在x1,x2∈[0,4]使得|f(x1)-g(x2)|<1成立,求a的取值范围.
,此时上为减函数,在上为增函数,在上为减函数;
时,,此时上为减函数;
时,此时上为减函数,在上为增函数,在上为减函数.
⑵ a的取值范围为

试题分析:⑴,令
所以
所以 …………………………………………………………………3分
,此时上为减函数,在上为增函数,在上为减函数;
时,,此时上为减函数;
时,此时上为减函数,在上为增函数,在上为减函数. ………………………………………………………………………………6分
⑵ 当时,,则上为增函数,在上为减函数

上的值域为 ………………………………………8分
上为增函数,其值域为……10分

等价于……………………………………………12分
存在使得成立,只须
,又
∴a的取值范围为. ………………………………………………………………14分
点评:典型题,本题属于导数应用中的基本问题,(2)涉及恒成立问题,转化成求函数的最值,这种思路是一般解法,往往要利用“分离参数法”,本题最终化为最值之间故选的研究,体现考题“起点高,落点低”的特点。
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