Question

8．已知函数f（x）=ax²+bx（a，b为常数且a≠0）满足条件f（1+x）=f（1-x），且方程f（x）=x有相等实根．
f（x）的解析式为f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x．

Answer 1

分析 根据f（1+x）=f（1-x）可知f（x）关于直线x=1对称，又方程f（x）=x有两个相等实根可知判别式等于零，列出方程组，求出a和b的值，即可得到f（x）的解析式．

解答 解：∵f（1+x）=f（1-x），
∴f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴f（x）的对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=1，①
又f（x）=x，即ax²+（b-1）x=0有等根，
∴△=（b-1）²=0，②
由①②，解得a=-$\frac{1}{2}$，b=1，
故f（x）的解析式为：f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x．
故答案为：f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x．

点评 本题考查了函数解析式的求法，函数单调性的性质，重点研究有关于二次函数的性质．求函数解析式常见的方法有：待定系数法，换元法，凑配法，消元法等．对于二次函数要注意数形结合的应用，注意抓住二次函数的开口方向，对称轴，以及判别式的考虑．属于中档题．