题目内容

（2012•武汉模拟）如图，已知椭圆Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1（-c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的一个动点，满足|F1Q|=2a．点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点M在线段F2Q上，且满足
PM
•
MF2
=0，|
MF2
|≠0．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设不过原点O的直线l与轨迹C交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，求△OAB面积的取值范围；
（Ⅲ）由（Ⅱ）求解的结果，试对椭圆Γ写出类似的命题．（只需写出类似的命题，不必说明理由）
分析：（Ⅰ）设M（x，y）为轨迹C上的任意一点．分类讨论，当|
PM
|=0时，点（a，0）和点（-a，0）在轨迹C上，当|
PM
|≠0且|
MF2
|≠0时，由
PM
•
MF2
=0，得
PM
⊥
MF2
，从而可值M为线段F2Q的中点，进而可求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），
由
y=kx+m
x2+y2=a2
消去y并整理，利用韦达定理及直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，可求直线方程，从而可求△OAB面积，进而可得△OAB面积的取值范围；
（Ⅲ）对椭圆Γ而言，有如下类似的命题：“设不过原点O的直线l与椭圆Γ交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，则△OAB面积的取值范围为（0，
1
2
ab）．”
解答：解：（Ⅰ）设M（x，y）为轨迹C上的任意一点．
当|
PM
|=0时，点（a，0）和点（-a，0）在轨迹C上．
当|
PM
|≠0且|
MF2
|≠0时，由
PM
•
MF2
=0，得
PM
⊥
MF2
．
又|
PQ
|=|
PF2
|（如图），所以M为线段F2Q的中点．
在△QF1F2中，|
OM
|=
1
2
|F1Q|=a，所以有x2+y2=a2．
综上所述，点M的轨迹C的方程是x2+y2=a2．…（4分）
（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，
故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），
由
y=kx+m
x2+y2=a2
消去y并整理，得
（1+k2）x2+2kmx+m2-a2=0，
则△=4k2m2-4（1+k2）（m2-a2）=4（k2a2+a2-m2）＞0，
且x1+x2=
-2km
1+k2
，x1x2=
m2-a2
1+k2
．
∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2．
∵直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，
∴
y1
x1
•
y2 
x2
=
k2x1x2+km(x1+x2)+m2
x1x2
=k2，
即
-2k2m2
1+k2
+m2=0，又m≠0，
∴k2=1，即k=±1．
设点O到直线l的距离为d，则d=
|m|
k2+1
，
∴S△OAB=
1
2
|AB|d=
1
2
1+k2
|x1-x2|•
|m|
k2+1

=
1
2
|x1-x2||m|=
1
2
m2(2a2-m2)
．
由直线OA，OB的斜率存在，且△＞0，得0＜m2＜2a2且m2≠a2，
∴0＜
m2(2a2-m2)
＜
m2+(2a2-m2)
2
=a2．
故△OAB面积的取值范围为（0，
1
2
a2）．…（10分）
（Ⅲ）对椭圆Γ而言，有如下类似的命题：“设不过原点O的直线l与椭圆Γ交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，则△OAB面积的取值范围为（0，
1
2
ab）．”…（13分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查求三角形的面积，考查类比思想，解题的关键是挖掘隐含条件，正确表示三角形的面积，属于中档题．
练习册系列答案
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907    966    191    925    271    932    812    458    569    683
431    257    393    027    556    488    730    113    537    989
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x2
16
-
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17
17
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x
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1
5
，
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5
）
（
1
5
，
3
5
）
．

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