Question

【题目】已知椭圆的离心率e＝，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线过椭圆的左端点A，与椭圆的另一个交点为B.，AB的垂直平分线交轴于点，且·＝4，求的值．

Answer 1

【答案】(1) (2)y0＝±2或y0＝±.

【解析】试题分析：1）由离心率求得a和c的关系，进而根据c2=a2﹣b2求得a和b的关系，进而根据菱形的面积公式，求得a和b，则椭圆的方程可得．

（2）由（1）可求得A点的坐标，设出点B的坐标和直线l的斜率，表示出直线l的方程与椭圆方程联立，消去y，由韦达定理求得点B的横坐标的表达式，进而利用直线方程求得其纵坐标表达式，表示出|AB|进而求得k，则直线的斜率可得．设线段AB的中点为M，当k=0时点B的坐标是（2，0），线段AB的垂直平分线为y轴，进而根据，求得y0；当k≠0时，可表示出线段AB的垂直平分线方程，令x=0得到y0的表达式根据，，求得y0．

试题解析：

(1)由e＝＝，得3a2＝4c2.再由c2＝a2－b2，得a＝2b.

由题意可知×2a×2b＝4，即ab＝2.解方程组得a＝2，b＝1.

所以椭圆的方程为.

(2)由(1)可知A(－2,0)．设B点的坐标为，直线的斜率为，则直线的方程．于是A，B两点的坐标满足方程组

由方程组消去y并整理，得.

由，得.从而.

设线段AB的中点为M，则M的坐标为．

以下分两种情况：

①当k＝0时，点B的坐标为(2,0)，线段AB的垂直平分线为y轴，于是＝(－2，－y0)，

＝(2，－y0)．由·＝4，得y0＝±2.

②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为．

令x＝0，解得，

由＝(－2，－y0)， ＝(x1，y1－y0)．

·＝－2x1－y0(y1－y0)

＝，

整理得7k2＝2，故k＝±.所以y0＝±.综上，y0＝±2或y0＝±.