题目内容
【题目】等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.
(1)求an与bn；
(2)求
【答案】（1）an＝2n＋1，bn＝8n－1.（2）
【解析】
（1）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，由题设条件建立方程组，解方程组得到d和q的值，从而求出an与bn；（2）由Sn=n（n+2），知
，由此可求出的值．
(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正数，
an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1，
依题意有
，
解得
或
(舍去)．
故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.
(2)Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)．
所以
＋
＋…＋
＝
＋
＋
＋…＋
＝
(1－
＋－
＋－
＋…＋
－
)
＝ (1＋－
－)
＝
－
.
【点睛】
这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知
和
的关系，求表达式，一般是写出
做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。
【题型】解答题
【结束】
21
【题目】已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f(1)＝
.
(1)当n∈N＋，求f(n)的表达式；
(2)设an＝nf(n)，n∈N＋，求证：a1＋a2＋…＋an<2.
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
（1）利用f（x+y）=f（x）f（y）（x，y∈R）通过令x=n，y=1，说明{f（n）}是以f(1)＝
为首项，公比为的等比数列求出
；（2）利用（1）求出an=nf（n）的表达式，利用错位相减法求出数列的前n项和，即可说明不等式成立．
(1)解：f(n)＝f[(n－1)＋1]
＝f(n－1)·f(1)＝
f(n－1)．
∴当n≥2时，
＝.
又f(1)＝，
∴数列{f(n)}是首项为，公比为的等比数列，
∴f(n)＝f(1)·()n－1＝()n.
(2)证明：由(1)可知，
an＝n·()n＝n·
，
设Sn＝a1＋a2＋…＋an，
则Sn＝＋2×
＋3×
＋…＋(n－1)·
＋n·，①
∴Sn＝＋2×
＋…＋(n－2)·＋(n－1)·＋n·
.②
①－②得，
Sn＝＋＋＋…＋－n·
＝
－
＝1－－，
∴Sn＝2－－
<2.
即a1＋a2＋…＋an<2.
【题目】（12分）某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为
，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为
，
(＞)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
|
|
|
|
|
(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
(Ⅱ)求，的值；
(Ⅲ)求数学期望
ξ。
