题目内容
【题目】如图，在直角坐标系
中，圆
与
轴负半轴交于点
，过点的直线
，
分别与圆
交于
两点.
（1）过点
作圆的两条切线，切点分别为
，求
；
（2）若
，求证：直线
过定点
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
（1）根据切线公式求出
，得出
，结合二倍角公式，利用向量数量积定义结合得解；
（2）分别讨论当直线MN斜率不存在和存在两种情况，结合韦达定理求解.
（1）
，
，
所以.
所以
，
所以
（2）（i）当直线
斜率不存在时，
AM所在直线方程y=x+2，直线与圆O的交点为M（0,2），
AN所在直线方程y=-x-2，直线与圆O的交点为M（0,-2），
MN所在直线方程为x=0；
（ii）当直线MN斜率存在时，设其所在直线为y=kx+m，
设直线MN与圆O的交点
则
，
，
，
或
，
当时，直线过点A，即
重合，舍去，
所以，即所在直线为y=kx，过定点（0,0）
综上所述：直线过定点（0,0）
【题目】某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器。现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：
维修次数 | 0 | 1 | 2 | 3 |
台数 | 5 | 10 | 20 | 15 |
以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数。
（1）求X的分布列；
（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？
【题目】某移动支付公司随机抽取了100名移动支付用户进行调查，得到如下数据：
每周移动支付次数 | 1次 | 2次 | 3次 | 4次 | 5次 | 6次及以上 |
男 | 4 | 3 | 3 | 7 | 8 | 30 |
女 | 6 | 5 | 4 | 4 | 6 | 20 |
合计 | 10 | 8 | 7 | 11 | 14 | 50 |
（1）在每周使用移动支付超过3次的样本中，按性别用分层抽样随机抽取5名用户.
①求抽取的5名用户中男、女用户各多少人；
②从这5名用户中随机抽取2名用户，求抽取的2名用户均为男用户的概率.
（2）如果认为每周使用移动支付次数超过3次的用户“喜欢使用移动支付”，能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为“喜欢使用移动支付”与性别有关？
附表及公式： 
| 0.50 | 0.25 | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 0.455 | 1.323 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
