题目内容
【题目】已知椭圆
的中心在坐标原点，离心率等于
，该椭圆的一个长轴端点恰好是抛物线
的焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线
与椭圆的两个交点记为
、
，其中点在第一象限，点
、
是椭圆上位于直线
两侧的动点.当、运动时，满足
，试问直线
的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1) 
(2)为定值，定值
.
【解析】
（1）由题意可求出抛物线
的焦点坐标，即为
的值，再根据离心率等于，及、
、
的关系即可求出。
（2）由题意
，即直线
与直线
斜率存在且斜率之和为0，可设的斜率为
，表示出直线与直线的方程，分别联立直线方程与椭圆方程，即可用含的式子表示
，
两点的坐标特征，即可求出直线
的斜率。
（1）因为抛物线焦点为
，所以
，
，∴
，
又
，所以
.
所以椭圆
的方程为.
（2）由题意，当时，知与斜率存在且斜率之和为0.
设直线
的斜率为，则直线的斜率为
，记
，
，
直线
与椭圆的两个交点
、
，
设的方程为
，联立
，
消
得
，
由已知知
恒成立，所以
，
同理可得
.
所以
，
，
，
所以
.
所以的斜率为定值.
【题目】新能源汽车的春天来了！2018年3月5日上午，李克强总理做政府工作报告时表示，将新能源汽车车辆购置税优惠政策再延长三年，自2018年1月1日至2020年12月31日，对购置的新能源汽车免征车辆购置税.某人计划于2018年5月购买一辆某品牌新能源汽车，他从当地该品牌销售网站了解了近五个月的实际销量如下表：
月份 | 2017.12 | 2018.01 | 2018.02 | 2018.03 | 2018.04 |
月份编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销量（万量） | 0.5 | 0.6 | 1 | 1.4 | 1.7 |
（1）经分析，可用线性回归模型拟合当地该品牌新能源汽车实际销量
（万辆）与月份编号
之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程
，并预测2018年5月份当地该品牌新能源汽车的销量；
（2）2018年6月12日，中央财政和地方财政将根据新能源汽车的最大续航里程（新能源汽车的最大续航里程是指理论上新能源汽车所装的燃料或电池所能够提供给车跑的最远里程）对购车补贴进行新一轮调整.已知某地拟购买新能源汽车的消费群体十分庞大，某调研机构对其中的200名消费者的购车补贴金额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：
补贴金额预期值区间（万元） |
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|
|
|
|
频数 | 20 | 60 | 60 | 30 | 20 | 10 |
（i）求这200位拟购买新能源汽车的消费者对补贴金额的心理预期值
的方差
及中位数的估计值（同一区间的预期值可用该区间的中点值代替，估计值精确到0.1）；
（ii）将频率视为概率，现用随机抽样方法从该地区拟购买新能源汽车的所有消费者中随机抽取3人，记被抽取的3人中对补贴金额的心理预期值不低于3万元的人数为
，求的分布列及数学期望
.
附：①回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
；②
.
