题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,已知点为平面上一动点,
到直线
的距离为
,
.
(Ⅰ)求点的轨迹
的方程;
(Ⅱ)不过原点的直线
与
交于
两点,线段
的中点为
,直线
与直线
交点的纵坐标为1,求
面积的最大值及此时直线
的方程.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
面积的最大值为
,此时直线
的方程为
.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)直接法求动点轨迹方程,先设动点坐标,再两点间距离公式及点到直线距离公式将条件用坐标表示,化简整理成椭圆标准方程;(Ⅱ)涉及弦中点问题,一般利用点差法求弦中点坐标与直线斜率的关系,本题由于弦中点与原点连线的斜率已知,所以可得弦所在直线斜率 .根据直线方程与椭圆方程联立方程组,结合韦达定理、弦长公式可得三角形底边长(用直线在 轴上截距表示),再根据点到直线距离公式可得高(用直线在
轴上截距表示),利用三角形面积公式可得面积关于直线在
轴上截距的函数关系式,最后根据基本不等式求最值,确定直线在
轴上截距,可得直线方程.
试题解析:解:(Ⅰ)由题意:,
又,即
,
化简整理得:
所求曲线的方程为
.
(Ⅱ)易得直线的方程:
,设
.其中
∵在椭圆上,
,所以
,
∴设直线的方程为:
.
联立:.整理得
.
∵直线与椭圆有两个不同的交点且不过原点,
∴,解得:
且
由韦达定理:
∴
.
∵点到直线
的距离为:
.
∴.
当且仅当即
时等号成立,满足(*)式
所以面积的最大值为
,此时直线
的方程为
.
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