Question

【题目】已知定义在R上的函数g（x）=f（x）﹣x3 ， 且g（x）为奇函数
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若x＞0时，f（x）=2x ， 求当x＜0时，函数g（x）的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵定义在R上的函数g（x）=f（x）﹣x3，且g（x）为奇函数，

∴f（x）=g（x）+x3，故f（﹣x）=g（﹣x）+（﹣x）3=﹣g（x）﹣x3=﹣f（x），

∴函数f（x）为奇函数；

（2）解：∵x＞0时，f（x）=2x，∴g（x）=2x﹣x3，

当x＜0时，﹣x＞0，故g（﹣x）=2﹣x﹣（﹣x）3，

由奇函数可得g（x）=﹣g（﹣x）=﹣2﹣x﹣x3．

【解析】（1）结合题意由函数奇偶性的定义可得；（2）可得x＞0时g（x）=2x﹣x3 ， 当x＜0时，﹣x＞0，整体代入由函数的奇偶性可得．
【考点精析】利用函数的奇偶性对题目进行判断即可得到答案，需要熟知偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．