Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-x2+1
（1）证明方程f（x）=0在区间（0，2）内有实数解；
（2）使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f（x）=0（x∈[0，2]）的实数解x₀在哪个较小的区间内．

Answer 1

分析：（1）通过计算函数值，得f（0）•f（2）=-

1

3

＜0，由零点存在性定理可得方程f（x）=0在区间（0，2）内有实数解；
（2）根据零点存在性定理，依次取x₁=1，x₂=

3

2

，x₃=

5

4

，从而计算出f（

5

4

）•f（

3

2

）＜0，得区间（

5

4

，

3

2

）即为符合题意的较小区间．

解答：解：（1）∵f（0）=1＞0，f（2）=-

1

3

＜0
∴f（0）•f（2）=-

1

3

＜0，
由函数的零点存在性定理可得方程f（x）=0在区间（0，2）内有实数解；
（2）取x₁=

1

2

（0+2）=1，得f（1）=

1

3

＞0
由此可得f（1）•f（2）=-

1

9

＜0，下一个有解区间为（1，2）
再取x₂=

1

2

（1+2）=

3

2

，得f（

3

2

）=-

1

8

＜0
∴f（1）•f（

3

2

）=-

1

8

＜0，下一个有解区间为（1，

3

2

）
再取x₃=

1

2

（1+

3

2

）=

5

4

，得f（

5

4

）=

17

192

＞0
∴f（

5

4

）•f（

3

2

）＜0，下一个有解区间为（

5

4

，

3

2

）
综上所述，得所求的实数解x₀在区间（

5

4

，

3

2

）．

点评：本题给出三次多项式函数，求函数的零点所在的区间，着重考查了三次多项式函数的性质和零点存在性定理等知识，属于基础题．