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精英家教网如图,设P是抛物线C1:x2=y上的动点.过点P做圆C2:x2+(y+3)2=1的两条切线,交直线l:y=-3于A,B两点.
(Ⅰ)求C2的圆心M到抛物线 C1准线的距离.
(Ⅱ)是否存在点P,使线段AB被抛物线C1在点P处的切线平分?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(Ⅰ)先求出抛物线 C1准线的方程,再利用点到直线距离的求法求出C2的圆心M到抛物线 C1准线的距离即可.
(Ⅱ)先设抛物线 C1在点P处的切线交直线l于点D,线段AB被抛物线C1在点P处的切线平分即为xA+xB=2XD.设出过点P做圆C2x2+(y+3)2=1的两条切线PA,PB,与直线y=-3联立,分别求出A,B,D三点的横坐标,代入xA+xB=2XD.看是否能解出点P,即可判断出是否存在点P,使线段AB被抛物线C1在点P处的切线平分.
解答:解:(Ⅰ)因为抛物线 C1准线的方程为:y=-
1
4

所以圆心M到抛物线 C1准线的距离为:|-
1
4
-(-3)|=
11
4

(Ⅱ)设点P的坐标为(x0,x02),抛物线 C1在点P处的切线交直线l与点D,
因为:y=x2,所以:y′=2x;
再设A,B,D的横坐标分别为xA,xB,xD
∴过点P(x0,x02)的抛物线 C1的切线的斜率k=2x0
过点P(x0,x02)的抛物线 C1的切线方程为:y-x02=2x0(x-x0)    ①
当 x0=1时,过点P(1,1)且与圆C2相切的切线PA方程为:y-1=
15
8
(x-1).可得xA=-
17
15
,xB=1,xD=-1,xA+xB≠2xD
当x0=-1时,过点P(-1,1)且与圆C2的相切的切线PB的方程为:y-1=-
15
8
(x+1).可得xA=-1,xB=
17
15
,xD=1,xA+xB≠2xD
所以x02-1≠0.设切线PA,PB的斜率为k1,k2
则:PA:y-x02=k1(x-x0)   ②
PB:y-x02=k2(x-x0).③
将y=-3分别代入①,②,③得xD=
x02-3
2x0
(x0≠0);xA=x0-
x02+3
k1
xB=x0-
x02+3
k2
(k1,k2≠0)
从而xA+xB=2x0-(x02+3)(
1
k1
+
1
k2
)

|-x0k1+x02+3|
k12+1
=1

即(x02-1)k12-2(x02+3)x0k1+(x02+3)2-1=0,
同理(x02-1)k22-2(x02+3)x0k2+(x02+3)2-1=0,
所以k1,k2是方程(x02-1)k2-2(x02+3)x0k+(x02+3)2-1=0的两个不等的根,
从而k1+k2=
2(3+x0)2x0
x02-1
,k1•k2=
(3+x02)2-1
x02-1

因为xA+xB=2XD..
所以2x0-(3+x02)(
1
k1
+
1
k2
)=
x02-3
x0
,即
1
k1
+
1
k2
=
1
x0

从而
2(3+x02)x0
(x02+3)2-1
=
1
x0

进而得x04=8,x0
48

综上所述,存在点P满足题意,点P的坐标为(±
48
,2
2
).
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点评:本题是对椭圆与抛物线,以及直线与椭圆和抛物线位置关系的综合考查.在圆锥曲线的三种常见曲线中,抛物线是最容易的,而双曲线是最复杂的,所以一般出大题时,要么是单独的椭圆与直线,要么是椭圆与抛物线,直线相结合.这一类型题目,是大题中比较有难度的题.
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