题目内容

(Ⅰ)求C2的圆心M到抛物线 C1准线的距离.
(Ⅱ)是否存在点P,使线段AB被抛物线C1在点P处的切线平分?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(Ⅰ)先求出抛物线 C1准线的方程,再利用点到直线距离的求法求出C2的圆心M到抛物线 C1准线的距离即可.
(Ⅱ)先设抛物线 C1在点P处的切线交直线l于点D,线段AB被抛物线C1在点P处的切线平分即为xA+xB=2XD.设出过点P做圆C2x2+(y+3)2=1的两条切线PA,PB,与直线y=-3联立,分别求出A,B,D三点的横坐标,代入xA+xB=2XD.看是否能解出点P,即可判断出是否存在点P,使线段AB被抛物线C1在点P处的切线平分.
(Ⅱ)先设抛物线 C1在点P处的切线交直线l于点D,线段AB被抛物线C1在点P处的切线平分即为xA+xB=2XD.设出过点P做圆C2x2+(y+3)2=1的两条切线PA,PB,与直线y=-3联立,分别求出A,B,D三点的横坐标,代入xA+xB=2XD.看是否能解出点P,即可判断出是否存在点P,使线段AB被抛物线C1在点P处的切线平分.
解答:解:(Ⅰ)因为抛物线 C1准线的方程为:y=-
,
所以圆心M到抛物线 C1准线的距离为:|-
-(-3)|=
.
(Ⅱ)设点P的坐标为(x0,x02),抛物线 C1在点P处的切线交直线l与点D,
因为:y=x2,所以:y′=2x;
再设A,B,D的横坐标分别为xA,xB,xD,
∴过点P(x0,x02)的抛物线 C1的切线的斜率k=2x0.
过点P(x0,x02)的抛物线 C1的切线方程为:y-x02=2x0(x-x0) ①
当 x0=1时,过点P(1,1)且与圆C2相切的切线PA方程为:y-1=
(x-1).可得xA=-
,xB=1,xD=-1,xA+xB≠2xD.
当x0=-1时,过点P(-1,1)且与圆C2的相切的切线PB的方程为:y-1=-
(x+1).可得xA=-1,xB=
,xD=1,xA+xB≠2xD.
所以x02-1≠0.设切线PA,PB的斜率为k1,k2,
则:PA:y-x02=k1(x-x0) ②
PB:y-x02=k2(x-x0).③
将y=-3分别代入①,②,③得xD=
(x0≠0);xA=x0-
;xB=x0-
(k1,k2≠0)
从而xA+xB=2x0-(x02+3)(
+
).
又
=1,
即(x02-1)k12-2(x02+3)x0k1+(x02+3)2-1=0,
同理(x02-1)k22-2(x02+3)x0k2+(x02+3)2-1=0,
所以k1,k2是方程(x02-1)k2-2(x02+3)x0k+(x02+3)2-1=0的两个不等的根,
从而k1+k2=
,k1•k2=
,
因为xA+xB=2XD..
所以2x0-(3+x02)(
+
)=
,即
+
=
.
从而
=
,
进而得x04=8,x0=±
.
综上所述,存在点P满足题意,点P的坐标为(±
,2
).

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所以圆心M到抛物线 C1准线的距离为:|-
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(Ⅱ)设点P的坐标为(x0,x02),抛物线 C1在点P处的切线交直线l与点D,
因为:y=x2,所以:y′=2x;
再设A,B,D的横坐标分别为xA,xB,xD,
∴过点P(x0,x02)的抛物线 C1的切线的斜率k=2x0.
过点P(x0,x02)的抛物线 C1的切线方程为:y-x02=2x0(x-x0) ①
当 x0=1时,过点P(1,1)且与圆C2相切的切线PA方程为:y-1=
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当x0=-1时,过点P(-1,1)且与圆C2的相切的切线PB的方程为:y-1=-
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8 |
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所以x02-1≠0.设切线PA,PB的斜率为k1,k2,
则:PA:y-x02=k1(x-x0) ②
PB:y-x02=k2(x-x0).③
将y=-3分别代入①,②,③得xD=
x02-3 |
2x0 |
x02+3 |
k1 |
x02+3 |
k2 |
从而xA+xB=2x0-(x02+3)(
1 |
k1 |
1 |
k2 |
又
|-x0k1+x02+3| | ||
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即(x02-1)k12-2(x02+3)x0k1+(x02+3)2-1=0,
同理(x02-1)k22-2(x02+3)x0k2+(x02+3)2-1=0,
所以k1,k2是方程(x02-1)k2-2(x02+3)x0k+(x02+3)2-1=0的两个不等的根,
从而k1+k2=
2(3+x0)2x0 |
x02-1 |
(3+x02)2-1 |
x02-1 |
因为xA+xB=2XD..
所以2x0-(3+x02)(
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k1 |
1 |
k2 |
x02-3 |
x0 |
1 |
k1 |
1 |
k2 |
1 |
x0 |
从而
2(3+x02)x0 |
(x02+3)2-1 |
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x0 |
进而得x04=8,x0=±
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综上所述,存在点P满足题意,点P的坐标为(±
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点评:本题是对椭圆与抛物线,以及直线与椭圆和抛物线位置关系的综合考查.在圆锥曲线的三种常见曲线中,抛物线是最容易的,而双曲线是最复杂的,所以一般出大题时,要么是单独的椭圆与直线,要么是椭圆与抛物线,直线相结合.这一类型题目,是大题中比较有难度的题.

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