Question

【题目】已知函数y=x+ 有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数在 上是减函数，在 上是增函数．
（1）已知f（x）= ，x∈[﹣1，1]，利用上述性质，求函数f（x）的单调区间和值域；
（2）对于（1）中的函数f（x）和函数g（x）=﹣x﹣2a，若对任意x1∈[﹣1，1]，总存在x2∈[0，1]，使得g（x2）=f（x1）成立，求实数a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：y= =x+2+ ﹣6；

设u=x+2，x∈[﹣1，1]，1≤u≤3，u=x+2为增函数；

则y=u+ ﹣6，u∈[1，3]；

由已知性质得，①当1≤u≤2，即﹣1≤x≤0时，f（x）单调递减；

∴f（x）的减区间为[﹣1，0]；

②当2≤u≤3，即0≤x≤1时，f（x）单调递增；

∴f（x）的增区间为[0，1]；

由f（﹣1）=﹣1，f（0）=﹣2，f（1）= ；

得f（x）的值域为[﹣2，﹣1]

（2）解：g（x）=﹣x﹣2a为减函数，x∈[0，1]；

故g（x）∈[﹣1﹣2a，﹣2a]；

由题意，f（x）的值域是g（x）的值域的子集；

∴ ；

∴ ；

即实数a的值为

【解析】（1）根据条件，先变形f（x）= ，可令x+2=u，1≤u≤3，而函数u=x+2为增函数，从而根据复合函数的单调性及已知的性质便可得出f（x）的减区间为[﹣1，0]，增区间为[0，1]，进一步便可得出f（x）的值域为[﹣2，﹣1]；（2）根据题意便知f（x）的值域为g（x）的子集，而容易求出g（x）的值域为[﹣1﹣2a，﹣2a]，从而得出 ，这样即可得出实数a的值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的判断方法的相关知识，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较，以及对函数的值的理解，了解函数值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法．