Question

（本小题满分13分）已知正四棱锥P—ABCD的高为，底面边长为，其内接正四棱柱EFGH—E₁F₁G₁H₁的四个顶点E、F、G、H在底面上，另外四个顶点E₁、F₁、G₁、H₁分别在棱PA、PB、PC、PD上（如图所示），设正四棱柱的底面边长为．

    （Ⅰ）设内接正四棱柱的体积为，求出函数的解析式；

     （Ⅱ）试求该内接正四棱柱的最大体积及对应的的值．

Answer 1

（Ⅰ）

解析:

（Ⅰ）设正四棱锥的底面中心为O，内接正四棱锥的高为，

       由已知条件和平面几何知识得，

       ∴，∴EE₁，即，

       ∴，即；                 ……6分

       （Ⅱ）由（Ⅰ），

       令，则（舍去），或，

       且、与的取值变化如下表所示：

	+	0
		极大值

       ∴该内接正四棱柱当且仅当时，其体积取得最大值．  …………13分