Question

【题目】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB+bcosA)=c.

（1）求cosC；

（2）若c，△ABC的面积为，求△ABC的周长.

Answer 1

【答案】（1）.（2）6+2

【解析】

（1）利用正弦定理、两角和的正弦公式、诱导公式化简已知条件，由此求得的值.

（2）利用三角形的面积列方程，求得的值，结合余弦定理求得的值，进而求得三角形的周长.

（1）∵2cosC(acosB+bcosA)=c，∴由正弦定理可得:2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC，可得2cosCsin(A+B)=sinC，可得2sinCcosC=sinC，∵C为三角形的内角，sinC>0，∴cosC.

（2）∵由已知可得SabsinC=2，又sinC，∴ab=8，∴由已知及余弦定理可得a2+b2﹣2abcosC=12，∴a2+b2=20，从而(a+b)2=36，可得a+b=6，∴△ABC的周长为6+2.