题目内容
【题目】有一块以点O为圆心,半径为2百米的圆形草坪,草坪内距离O点 百米的D点有一用于灌溉的水笼头,现准备过点D修一条笔直小路交草坪圆周于A,B两点,为了方便居民散步,同时修建小路OA,OB,其中小路的宽度忽略不计.
(1)若要使修建的小路的费用最省,试求小路的最短长度;
(2)若要在△ABO区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞,试求这块圆形广场的最大面积.(结果保留根号和π)
【答案】
(1)解:小路的长度l=OA+OB+AB=(400+AB)米,
要使小路的长度最短,只需AB最短即可.
当OD⊥AB时,圆心距d最长为OD,此时AB最短,
(AB)min=2 ×2=200 米,
∴小路的最短长度为(4+2 )(百米).
(2)依题意,圆形广场内切于△ABO时,这块圆形广场的最大面积.
设△ABO的内切圆半径为r,
则有 = ,
由弦长公式得AB=2 , .
令AB=x,则r2=f(x)= , ;
∵ ,∴x=AB=2 .
∴ ,∴ =6﹣4 .
这块圆形广场的最大面积s=πr2=(6﹣4 )π(百米2)
【解析】(1)先写出小路长度的函数解析式,再利用弦长公式可得AB的最小值,进而可得小路的最短长度;(2)先令AB=x,利用已知条件可得r2用含有x的式子表示,再设r2=f(x),对f(x)求导,判断f(x)的单调性,进而可得f(x)的最大值,从而可得这块圆形广场的最大面积.
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