Question

【题目】已知函数f（x）=xlnx．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）设A（x1 ， f（x1）），B（x2 ， f（x2）），且x1≠x2 ， 证明： ＜f′（ ）．

Answer 1

【答案】
（1）解：定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+x =1+lnx，

令f′（x）＞0，则lnx＞﹣1=ln ，∴x＞ ；

令f′（x）＜0，则lnx＜﹣1=ln ，∴0＜x＜ ，

∴f（x）的单调增区间是（ ，+∞），单调减区间是（0， ）．

f（x）极小值=f（ ）= =﹣ ，f（x）无极大值

（2）证明：不妨设x1＜x2，

＜ln +1，即 ﹣ +x2﹣x1，

＜ ，

两边同除以x1得， ＜ln ﹣1，

令 =t，则t＞1，即证：tln ＜ln +t﹣1，

令g（t）=tln ﹣t+1，

g′（t）=ln +t + ﹣1=ln =ln（1+ ）﹣ ，

令 （x＞0），h（x）=ln（1+x）﹣x，

h′（x）= ＜0，h（x）在（0，+∞）上单调递减，

∴h（x）＜h（0）=0，即ln（1+x）＜x，即g′（t）=ln（1+ ）﹣ ＜0恒成立，

∴g（t）在（1，+∞）上是减函数，所以g（t）＜g（1）=0，

∴tln ＜ln +t﹣1得证，

∴ 成立

【解析】（1）求导，在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得单调区间，有极值点的定义可求极值；（2）不妨设x1＜x2 ， ＜ln +1，即证 ＜ ，两边同除以x1得， ＜ln ﹣1，令 =t，则t＞1，只证：tln ＜ln +t﹣1，令g（t）=tln ﹣t+1，利用导数证明g（t）＜0即可；
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．