题目内容
【题目】设函数.
()若
,求函数
的单调区间.
()若函数
在区间
上是减函数,求实数
的取值范围.
()过坐标原点
作曲线
的切线,证明:切点的横坐标为
.
【答案】()单调减区间为
,单调增区间为
.(
)
(
)见解析
【解析】试题分析:(1)当时,求出函数的导函数
,分别令
和
,解出不等式得单调区间;(2)函数
在区间
上是减函数,即
对任意
恒成立,利用分离参数法可得最后结果;(3)设切点为
,对函数进行求导,根据导数的几何意义得
,根据切线过原点,可得斜率为
,两者相等化简可得
,先证存在性,再通过单调性证明唯一性.
试题解析:()当
时,
,
,令
,则
,令
,则
,∴函数
的单调减区间为
,单调增区间为
.
()
,∵
在区间
上是减函数,∴
对任意
恒成立,即
对任意
恒成立,
令,则
,易知
在
上单调递减,∴
,∴
.
()设切点为
,
,∴切线的斜率
,
又切线过原点, ,∴
,即
,
∴,存在性,
满足方程
,
所以是方程
的根唯一性,
设,则
,∴
在
上单调递增,且
,∴方程
有唯一解
,综上,过坐标原点
作曲线
的切线,则切点的横坐标为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】2017年4月1日,新华通讯社发布:国务院决定设立河北雄安新区.消息一出,河北省雄县、容城、安新3县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点.
(1)为了响应国家号召,北京市某高校立即在所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至雄安新区”的问卷调查,8个学院的调查人数及统计数据如下:
调查人数( | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 |
愿意整体搬迁人数( | 8 | 17 | 25 | 31 | 39 | 47 | 55 | 66 |
请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出变量关于变量
的线性回归方程
保留小数点后两位有效数字);若该校共有教职员工2500人,请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数;
(2)若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区,现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察,记为考察团中愿意将学校整体搬迁至雄安新区的院长人数,求
的分布列及数学期望.
参考公式及数据: .
【题目】某学校高三年级共有1000名学生,其中男生650人,女生350人,为了调查学生周末的休闲方式,用分层抽样的方法抽查了200名学生.
(Ⅰ)完成下面的列联表;
不喜欢运动 | 喜欢运动 | 合计 | |
女生 | 50 | ||
男生 | |||
合计 | 100 | 200 |
(Ⅱ)在抽取的样本中,调查喜欢运动女生的运动时间,发现她们的运动时间介于30分钟到90分钟之间,右图是测量结果的频率分布直方图,若从区间段和
的所有女生中随机抽取两名女生,求她们的运动时间在同一区间段的概率.