题目内容

已知数列的前项和和通项满足是常数且)。
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ) 当时,试证明
(Ⅲ)设函数,是否存在正整数,使都成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.

(1)
(2)略
(3)1,2,3
解: (Ⅰ)由题意,,得 …………1分
时,
   ∴                     ………………3分
∴数列是首项,公比为的等比数列,∴ ………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知当时,       …………………5分
,∴  …………………………………………………6分
    …………………………………………………………………………7分
(Ⅲ)∵

=     ……………………9分
    ………………………………10分
 …12分
 -------()
∵()对都成立 ∴ ∵是正整数,∴的值为1,2,3。
∴使都成立的正整数存在,其值为:1,2,3. …14分
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