题目内容
如图，设A、B、C、D为地球O上的四个城市，若AB、AC、AD两两互相垂直，且DA=AC=1，AB=| 2 |
分析：由已知中四面体A-BCD中，共顶点A的三条棱两两互相垂直，我们可得四面体的外接球即为以AB，AC，AD为长宽高的长方体的外接球，又由DA=AC=1，AB=
，可求出其外接球半径，进而求出球心角∠AOD、∠BOA，代入弧长公式，即可求出从D经A到达B的球面距离即得．
| 2 |
解答：解：∵四面体A-BCD中，共顶点A的三条棱两两互相垂直，且DA=AC=1，AB=
，
故四面体的外接球即为以AB，AC，AD为长宽高的长方体的外接球
可求得此长方体的体对角线长为2
则球半径R=1
∴球心角∠AOD=
，
∠BOA=
，
故A，D的球面距离为
×1=
，A，B的球面距离为
×1=
，
则某人乘飞机从D经A到达B的最短路程为
+
=
π
故选C．
| 2 |
故四面体的外接球即为以AB，AC，AD为长宽高的长方体的外接球
可求得此长方体的体对角线长为2
则球半径R=1
∴球心角∠AOD=
| π |
| 3 |
∠BOA=
| π |
| 2 |
故A，D的球面距离为
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
则某人乘飞机从D经A到达B的最短路程为
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 5 |
| 6 |
故选C．
点评：本题考查的知识点是球面距离及相关计算，余弦定理，弧长公式，其中根据已知条件求出球半径和球心角是解答本题的关键．
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