题目内容
【题目】若数列满足:对于任意的正整数
,
,
,且
,则称该数列为“跳级数列”.
(1)若数列为“跳级数列”,且
,求
、
的值;
(2)若数列为“跳级数列”,则对于任意一个大于
的质数
,在数列
中总有一项是
的倍数;
(3)若为奇质数,则存在一个“跳级数列”
,使得数列
中每一项都不是
的倍数.
【答案】(1),
;(2)见解析;(3)见解析.
【解析】
(1)根据题中定义求出的值,再由
以及
可求出
的值,求出
,
,结合
,以及
可得出
的值;
(2)根据“跳级数列”的定义得出为正整数,并记
,可得出
,并记
,则存在
使得
,利用
可得知
、
、
、
、
、
除以
所得余数互不相同,由此可知
、
、
、
、
、
中必存在一项为
的倍数;
(3)对于正整数,设
为非负整数,且满足
,根据定义得出
,然后取数列
满足条件.
(1)由“跳级数列”的定义可得,且
以及
,
,
,
,
由题意可得,且
,因此,
;
(2)数列为“跳级数列”,
,
为正整数,
记,
可知,且
,记
,
对于质数,必存在
,使得
,反复应用
,
得,
另一方面,因为对于满足的任意
,均有
.
所以对于所有,都有
(利用迭加).
这表明,数列、
、
、
、
、
是以
为公差的等差数列.
假设对于整数对,均有
是质数
的整数倍,
即必为
的整数倍,
,且
同时成立,知这与
为质数矛盾.
由此可知,、
、
、
、
、
除以
所得余数互不相同.
(构造一个的完全剩余系)所以必有一个是
的倍数;
(3)对于正整数,设
为非负整数,且满足
,
则,即
.
根据定义有,由
,且
,
令,则
,
则显然为“跳级数列”,又
为奇质数,于是,
不为
的倍数,因此
也不为
的倍数.
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