题目内容
【题目】如图,五面体中,,底面是正三角形,,四边形是矩形,二面角为直二面角.
(1)在上运动,当在何处时,有平面,并说明理由;
(2)当平面时,求二面角余弦值.
【答案】(1)为中点;(2).
【解析】
试题分析:(1)可先猜想,再证明.假设为中点时,有平面.连结交于,连结,可证得为中点,又为中点,从而,根据线面平行的判定定理即可证得平面;(2)以为坐标原点,建立空间直角坐标系,求出平面与平面的法向量,根据向量的夹角公式即可求得二面角余弦值.
试题解析:(1)当为中点时,有平面.
证明:连结交于,连结,
∵四边形是矩形,
∴为中点,又为中点,从而,
∵平面,平面,
∴平面.
(2)建立空间直角坐标系,如图所示,
则,,,,,
所以,,
设为平面的法向量,则有即
令,可得平面的一个法向量为,
而平面的一个法向量为,
所以,
故二面角的余弦值为.
练习册系列答案
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【题目】电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查,其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图,将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”,已知“体育迷”中有10名女性.
(Ⅰ)根据已知条件完成下面的列联表,并据此资料判断你是否有95%以上的把握认为“体育迷”与性别有关?
非体育迷 | 体育迷 | 合计 | |
男 | |||
女 | |||
合计 |
(参考公式,其中.)
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
(Ⅱ)将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”,已知“超级体育迷”中有2名女性,若从“超级体育迷”中任意选取2人,求至少有1名女性观众的概率。