Question

【题目】已知四棱锥中，底面四边形为平行四边形，为的中点，为上一点，且（如图）.

（1）证明：平面；

（2）当平面平面，，时，求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析 （2）

【解析】

（1）要证平面，即证平面的一条线段，可连接，交于点，通过相似三角形证明即可；

（2）采用等体积法进行转化，，平面平面，可通过几何关系先求出点到平面的距离，再结合求得点到平面的距离，结合体积公式即可求解；

（1）证明：取的中点，连接，，，连接.

∵四边形为平行四边形，，分别为，的中点，

∴根据平行线分线段成比例定理得，

又，得，

∴，又在平面内，不在平面内，

∴平面.

（2）

由题意，得，，

.连接，（为的中点），

则，，且，.

∵平面平面，，在平面内，.

∴平面，

∵，得点到平面的距离就是，

又，

∴到平面的距离为.

∴.