Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量=（sinA,b+c），=（a－c,sinC－sinB）,满足=（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设=（sin（C+）,）, =（2k,cos2A） （k>1）,  有最大值为3，求k的值.

Answer 1

（Ⅰ）B＝.（Ⅱ）k＝.

解析试题分析：（Ⅰ）由条件=|，两边平方得，  2分
得（a－c）sinA＋（b+c）（sinC－sinB）＝0，
根据正弦定理，可化为a（a－c）+（b+c）（c－b）=0,即，  4分
又由余弦定理＝2 a cosB,所以cosB＝，B＝.  6分
（Ⅱ）=（sin（C+）,）, =（2k,cos2A） （k>1）,
=2ksin（C+）+cos2A=2ksin（C+B）+cos2A=2ksinA+-
=-+2ksinA+=-+ （k>1）.   8分
而0<A<,sinA∈（0,1],故当sinA＝1时，取最大值为2k-=3,得k＝.  12分
考点：本题主要考查平面向量的数量积，平面向量的坐标运算，余弦定理的应用，和差倍半的三角函数公式，二次函数的性质。
点评：典型题，属于常见题型，通过“模”的平方，得到三角形边角关系，利用余弦定理进一步求得cosB。（II）根据已知条件，灵活运用数量积及三角公式化简，应用二次函数的性质，达到解题目的。