Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，垂直于底面ABCD,PA=AD=AB=2BC=2,M,N分别为PC,PB的中点.

(Ⅰ)求证:PB⊥DM;
(Ⅱ)求点B到平面PAC的距离.

Answer 1

（Ⅰ）参考解析；（Ⅱ）

试题分析：（Ⅰ）要证PB⊥DM垂直，通过证明PB线⊥平面ANMD垂直得到.由于PA=AB，PA⊥AB,N是PB的中点，所以可得AN⊥PB.又因为直线AD⊥平面PAB所以可得AD⊥PB.从而可得直线PB垂直平面ANMD.即可得结论.
（Ⅱ）由于平面PAC⊥平面ABC.所以点B到平面PAC的距离，通过作BH⊥AC，垂足为H，所以可得BH⊥平面PAC,即线段BH的长为所求的结论.
试题解析：（1）因为N是PB的中点，PA=AB，
所以AN⊥PB,因为AD⊥面PAB，所以AD⊥PB,又因为AD∩AN=A，MN∥BC∥AD
从而PB⊥平面ADMN,因为平面ADMN，
所以PB⊥DM.　　　　　　   6分
(2)连接AC，过B作BH⊥AC，因为⊥底面，
BH面ABCDPA⊥BH   AC⊥BH，PA∩AC=A
所以BH是点B到平面PAC的距离.
在直角三角形ABC中，BH＝                 12分