Question

如图，已知圆O：x²+y²=2交x轴于A，B两点，点P（-1，1）为圆O上一点．曲线C是以AB为长轴，离心率为

2

2

的椭圆，点F为其右焦点．过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的右准线l于点Q．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）证明：直线PQ与圆O相切．

Answer 1

分析：（1）由题意，得a=

2

，e=

2

2

，c=1，b²=1．由此可知椭圆C的标准方程为

x2

2

+y2=1．
（2）由题意知直线OQ的方程为y=2x，又椭圆的右准线方程为x=2，所以Q（2，4），kPQ=

4-1

2-(-1)

=1．由此可知OP⊥PQ．所以直线PQ与圆O相切．

解答：解：（1）由题意，得a=

2

，e=

2

2

，
∴c=1，∴b²=1．
所以椭圆C的标准方程为

x2

2

+y2=1．（6分）
（2）∵P（-1，1），F（1，0），
∴kPF=-

1

2

，∴k_OQ=2．
所以直线OQ的方程为y=2x．（10分）
又椭圆的右准线方程为x=2，所以Q（2，4），所以kPQ=

4-1

2-(-1)

=1．
又k_OP=-1，所以k_PQ•k_OP=-1，即OP⊥PQ．
故直线PQ与圆O相切．（15分）

点评：本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要注意公式的灵活运用．