Question

如图，已知圆O：x²+y²=2交x轴于A、B两点，P在圆O上运动（不与A、B重合），过P作直线l₁，OS垂直于l₁交直线l₂：x=-3于点S．
（1）求证：“如果直线l₁过点T（-1，0），那么

OP

•

PS

=1”为真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）设P（x₀，y₀），则x₀²+y₀²=2，当x₀=-1时，求出S的坐标，化简

OP

•

PS

的解析式．当x₀≠-1时，求出S的坐标，
化简

OP

•

PS

的解析式．
（2）先写出逆命题，设S（-3，t），P（x₀，y₀）（y₀≠0），由

OP

•

PS

=1，及x₀²+y₀²=2，得出t=

3+3x0

y0

．
当当x₀=-1时，直线l₁的方程知过点（-1，0）；当x₀≠-1时，由直线l₁的方程知过点（-1，0）．

解答：证明：（1）设P（x₀，y₀）（y₀≠0），则x₀²+y₀²=2．当x₀=-1时，
∵直线l₁过点T（-1，0），∴S（-3，0），即

PS

=(-3-x0，-y0)，
∴

OP

•

PS

=-3x0-x02-y0²=1．
当x₀≠-1时，∵直线l₁过点T（-1，0），∴直线l₁的斜率k₁=

y0

x0+1

，
∴直线OS的斜率k=-

x0+1

y0

，其方程为 y=-

x0+1

y0

x，
∴S(-3，

3x0+3

y0

)，即

PS

=(-3-x0，

3x0+3

y0

-y0)．
∴

OP

•

PS

=-3x₀-x₀²+3x₀+3-y₀²=3-2=1．
故“如果直线l₁过点T（-1，0），那么

OP

•

PS

=1”为真命题．

（2）逆命题为：如果

OP

•

PS

=1，那么直线l₁过点T（-1，0）．逆命题也为真命题，以下给出证明：
设S（-3，t），P（x₀，y₀）（y₀≠0），则

PS

=(-3-x0，t-y0)，
∵

OP

•

PS

=1，∴-3x₀-x₀²+ty₀-y₀²=1，又x₀²+y₀²=2，
∴t=

3+3x0

y0

．当x₀=-1时，直线l₁的方程为x=-1，显然过点（-1，0）；
当x₀≠-1时，直线OS的斜率k=

x0+1

-y0

，∴直线l₁的方程为y-y₀=

y0

x0+1

(x-x0)，令y=0，得x=-1，
∴直线l₁过定点（-1，0）．综上，直线l₁恒过定点（-1，0）．

点评：本题考查直线和圆相交的性质，四种命题的真假关系，两个向量的数量积的运算以及求两直线交点的坐标．