Question

【题目】已知椭圆的离心率为，其左顶点在圆上．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若点为椭圆上不同于点的点，直线与圆的另一个交点为．是否存在点，使得? 若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）不存在

【解析】试题分析：（I）左顶点代入圆的方程，求得，根据离心率为，求得，故椭圆方程为；（II）设点， ，直线的方程为,联立直线的方程和椭圆的方程，求出的坐标，进而求得的值，利用圆心到直线的距离求得，代入，所以不存在.

试题解析：

（I）因为椭圆的左顶点在圆上，令，得，所以.又离心率为，所以，所以，所以.

所以的方程为.

（II）设点， ，设直线的方程为，

与椭圆方程联立得，

化简得到，因为-4为方程的一个根，

所以，所以

所以

因为圆心到直线的距离为，

所以.

因为，

代入得到，

显然，所以不存在直线，使得.