题目内容

13、已知数集A={a1，a2，a3，…，an}，记和ai+aj（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数为M（A）．如当A={1，2，3，4}时，由1+2=3，1+3=4，1+4=2+3=5，2+4=6，3+4=7，得M（A）=5．若A=1，2，3，…，n，则M（A）=
2n-3
．
分析：∵a1＜a2＜…＜an，所以a1+a2＜a1+a3＜…＜a1+an＜a2+an＜…＜an-1+an．由此能够推出M（A）=2n-3．
解答：解：不妨设a1＜a2＜…＜an，
所以a1+a2＜a1+a3＜＜a1+an＜a2+an＜…＜an-1+an
所以ai+aj（1≤i＜j≤n）中至少有2n-3个不同的数，即M（A）≥2n-3
∵A={1，2，3，，n}，则ai+aj∈{3，4，5，，2n-1}共2n-3个
所以M（A）=2n-3
故答案为：2n-3
点评：本题考查集合与元素的位置关系和数列的综合应用，综合性较强，解题时注意整体思想和转化思想的运用，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属基础题．
练习册系列答案
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已知数集A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…an，n≥2）具有性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj与
aj
ai
两数中至少有一个属于A．
（I）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；
（Ⅱ）证明：a1=1，且
a1+a2+…+an
a
-1
1
+
a
-1
2
+…+
a
-1
n
=an；
（Ⅲ）证明：当n=5时，a1，a2，a3，a4，a5成等比数列．
已知数集A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj与
ajai
两数中至少有一个属于A．
（1）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；
（2）求a1的值；当n=3时，数列a1，a2，a3是否成等比数列，试说明理由；
（3）由（2）及通过对A的探究，试写出关于数列a1，a2，…，an的一个真命题，并加以证明．
已知数集A={a1，a2，…，an}，其中0≤a1＜a2＜…＜an，且n≥3，若对?i，j（1≤i≤j≤n），aj+ai与aj-ai两数中至少有一个属于A，则称数集A具有性质P．
（Ⅰ）分别判断数集{0，1，3}与数集{0，2，4，6}是否具有性质P，说明理由；
（Ⅱ）已知数集A={a1，a2…a8}具有性质P，判断数列a1，a2…a8是否为等差数列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由．
已知数集A={a1，a2，…，an}（1=a1＜a2＜…＜an，n≥4）具有性质P：对任意的k（2≤k≤n），?i，j（1≤i≤j≤n），使得ak=ai+aj成立．
（Ⅰ）分别判断数集{1，2，4，6}与{1，3，4，7}是否具有性质P，并说明理由；
（Ⅱ）求证：a4≤2a1+a2+a3；
（Ⅲ）若an=72，求n的最小值．
已知数集A={a1，a2，…，an}（0≤a1＜a2＜…＜an，n≥3）具有性质P：对?i，j（1≤i≤j≤n），aj+ai与aj-ai两数中至少有一个属于A．
（1）分别判断数集{0，1，3}与数集{0，2，4，6}是否具有性质P，说明理由；
（2）求证：a1+a2+…+an=
n2
an；
（3）已知数集A={a1，a2…，a8}具有性质P．证明：数列a1，a2，a8是等差数列．

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