Question

如图，己知平行四边形ABCD中，∠BAD=60°，AB=6，AD=3，G为CD中点，现将梯形ABCG沿着AG折起到AFEG．
（I）求证：直线CE∥直线BF；
（II）若直线GE与平面 ABCD所成角为

π

6

．
①求证：FG⊥平面ABCD：
②求二面B一EF一A的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由AB∥CG，GE∥AF，知AF∥平面CGE，AB∥平面CGE，故平面ABF∥平面CGE，由此能够证明直线CE∥直线BF．
（Ⅱ）①由∠BAD=60°，AB=6，AD=3，G为CD中点，知BG⊥AG，FG⊥AG，由直线GE与平面ABCD所成的角为

π

6

，而GE∥AF，由此能够证明FG⊥平面ABCD．
②由FG⊥平面ABCD，知FG⊥BG，BG⊥平面AGEF，作GH⊥EF交EF于H，连接BH，得BH⊥EF，故∠BHG为B-EF-A的平面角，由此能求出二面B一EF一A的平面角的余弦值．

解答：（Ⅰ）证明：∵AB∥CG，GE∥AF，
∴AF∥平面CGE，AB∥平面CGE，
∴平面ABF∥平面CGE，
∵直线BC∩AG=K，
∴K∈直线EF，
∴EF与BC共面，
所以，直线CE∥直线BF．
（Ⅱ）解：①∵∠BAD=60°，AB=6，AD=3，G为CD中点，
∴BG⊥AG，∴FG⊥AG，
∵直线GE与平面ABCD所成的角为

π

6

，而GE∥AF，
∴直线AF与平面ABCD所成的角为

π

6

，
∴F到平面ABCD的距离为3，
所以FG⊥平面ABCD．
②∵FG⊥平面ABCD，
∴FG⊥BG，∴BG⊥平面AGEF，
作GH⊥EF交EF于H，连接BH，得BH⊥EF，
∴∠BHG为B-EF-A的平面角，
∵BG=3，GH=

3 3

2

，tan∠BHG=

BG

GH

=

2 3

3

，
∴cos∠BHG=

21

7

，
所以二面B一EF一A的平面角的余弦值为

21

7

．

点评：本题考查直线与直线平行的证明，直线与平面垂直的证明，求二面角的余弦值，是高考的重点．解题时要认真审题，合理地化空间问题为平面问题．