Question

20．设函数f（x）=e^x-ax²-x．
（1）当a=$\frac{1}{2}$时，证明：f（x）是R上的增函数；
（2）当x≥0时，f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，令g（x）=e^x-x-1，求出导数，求出单调区间，可得极小值和最小值，进而得到f（x）的导数非负，即可得证；
（2）当x≥0时，f（x）≥1恒成立，即为f（x）-1=e^x-x-ax²-1，令g（x）=e^x-x-ax²-1，求出导数，对a讨论，结合函数的单调性，即可得到a的范围．

解答 解：（1）证明：当a=$\frac{1}{2}$时，f（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²-x，
导数为f′（x）=e^x-x-1，
令g（x）=e^x-x-1，导数为g′（x）=e^x-1，
当x＞0时，g（x）递增；当x＜0时，g（x）递减，
可得x=0处g（x）取得最小值0，
即有f′（x）≥0，
则f（x）是R上的增函数；
（2）当x≥0时，f（x）≥1恒成立，
即为f（x）-1=e^x-x-ax²-1，
令g（x）=e^x-x-ax²-1，则g′（x）=e^x-2ax-1．
令h（x）=e^x-2ax-1，则h′（x）=e^x-2a，
若2a≤1，则当（0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数，
而h（x）≥0，从而当x≥0时，g′（x）≥0，即g（x）≥0．
若2a＞1，则当x∈（0，ln2a）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数，
而h（x）≤0，从而当x∈（0，lna）时，g′（x）＜0，即g（x）＜0．
所以不合题意，舍去．
综合得a的取值范围为（-∞，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数的恒成立问题的解法，注意运用单调性解决，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．