题目内容
设f(x)=x3-ax2-bx-c,x∈[-1,1],记y=|f(x)|的最大值为M.(Ⅰ)当a=c=0,b=
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(Ⅱ)当a,b,c取遍所有实数时,求M的最小值.
(以下结论可供参考:对于a,b,c,d∈R,有|a+b+c+d|≤|a|+|b|+|c|+|d|,当且仅当a,b,c,d同号时取等号)
分析:(I)先求导,得f′(x)=3x2-
=3(x-
)(x+
),从而得出y=|f(x)|的最大值为:M=max{|f(-1)|,|f(-
)|,|f(
)|,|f(1)|}=
.
(II)由于4f(1)-4f(-1)=8-8b,8f(
)-8f(-
)=2-8b,且M≥|f(1)|;M≥|f(-1)|;M≥|f(
)|;M≥|f(-
)|利用绝对值不等式建立不等关系式,得出M≥
(-1≤x′≤1).最后结合(1)可知M的最小值.
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(II)由于4f(1)-4f(-1)=8-8b,8f(
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解答:解:(I)求导可得f′(x)=3x2-
=3(x-
)(x+
),
M=max{|f(-1)|,|f(-
)|,|f(
)|,|f(1)|}=
,当x=±1,±
时取等号.
(II)∵4f(1)-4f(-1)=8-8b,8f(
)-8f(-
)=2-8b,
∵M≥|f(1)|;M≥|f(-1)|;M≥|f(
)|;M≥|f(-
)|
∴24M≥4|f(1)|+4|f(-1)|+8|f(
)|+8|f(-
)|≥|4f(1)-4f(-1)-8f(
)+8f(-
)|=6
因此,M≥
(-1≤x′≤1).
由(1)可知,当a=0,b=
,c=0时,M=
.∴f(x)min=
.
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M=max{|f(-1)|,|f(-
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(II)∵4f(1)-4f(-1)=8-8b,8f(
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∵M≥|f(1)|;M≥|f(-1)|;M≥|f(
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∴24M≥4|f(1)|+4|f(-1)|+8|f(
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因此,M≥
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由(1)可知,当a=0,b=
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点评:本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数求闭区间上函数的最值、绝对值不等式的性质等基础知识,考查运算求解能力,化归与转化思想.属于基础题.
练习册系列答案
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设f(x)=x3+bx+c是[-1,1]上的增函数,且f(-
)•f(
)<0,则方程f(x)=0在[-1,1]内( )
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A、可能有3个实数根 |
B、可能有2个实数根 |
C、有唯一的实数根 |
D、没有实数根 |