题目内容

设f(x)=x3-ax2-bx-c,x∈[-1,1],记y=|f(x)|的最大值为M.
(Ⅰ)当a=c=0,b=
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时,求M的值;
(Ⅱ)当a,b,c取遍所有实数时,求M的最小值.
(以下结论可供参考:对于a,b,c,d∈R,有|a+b+c+d|≤|a|+|b|+|c|+|d|,当且仅当a,b,c,d同号时取等号)
分析:(I)先求导,得f′(x)=3x2-
3
4
=3(x-
1
2
)(x+
1
2
)
,从而得出y=|f(x)|的最大值为:M=max{|f(-1)|,|f(-
1
2
)|,|f(
1
2
)|,|f(1)|}=
1
4

(II)由于4f(1)-4f(-1)=8-8b,8f(
1
2
)-8f(-
1
2
)=2-8b
,且M≥|f(1)|;M≥|f(-1)|;M≥|f(
1
8
)|;M≥|f(-
1
8
)|
利用绝对值不等式建立不等关系式,得出M≥
1
4
(-1≤x′≤1).最后结合(1)可知M的最小值.
解答:解:(I)求导可得f′(x)=3x2-
3
4
=3(x-
1
2
)(x+
1
2
)

M=max{|f(-1)|,|f(-
1
2
)|,|f(
1
2
)|,|f(1)|}=
1
4
,当x=±1,±
1
2
时取等号.
(II)∵4f(1)-4f(-1)=8-8b,8f(
1
2
)-8f(-
1
2
)=2-8b

M≥|f(1)|;M≥|f(-1)|;M≥|f(
1
8
)|;M≥|f(-
1
8
)|

24M≥4|f(1)|+4|f(-1)|+8|f(
1
2
)|+8|f(-
1
2
)|
≥|4f(1)-4f(-1)-8f(
1
2
)+8f(-
1
2
)|=6

因此,M≥
1
4
(-1≤x′≤1).
由(1)可知,当a=0,b=
3
4
,c=0时,M=
1
4
.∴f(x)min=
1
4
点评:本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数求闭区间上函数的最值、绝对值不等式的性质等基础知识,考查运算求解能力,化归与转化思想.属于基础题.
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