Question

已知函数f(x)=

1 3 x3+mx2 (x≤0) ex-1 (x＞0).

（1）当x≤0时，函数f（x）在（-1，f（-1））处的切线方程为x-3y+1=0，求m的值；
（2）当x＞0时，设f（x）+1的反函数为g^-1（x）（g^-1（x）的定义域即是f（x）+1的值域）．证明：函数h(x)=

1

3

x-g-1(x)在区间（e，3）内无零点，在区间（3，e²）内有且只有一个零点；
（3）求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析：（1）由题意得f'（-1）=1-2m所以函数f（x）在（-1，f（-1））处的切线方程为：（3-6m）x-3y+2-3m=0，又因为函数f（x）在（-1，f（-1））处的切线方程为x-3y+1=0所以解得m=

1

3

．
（2）当x＞0时g^-1（x）=lnx（x＞1），所以h(x)=

1

3

x-lnx(x＞1)所以h′(x)=

1

3

-

1

x

=

x-3

3x

解得可知h（x）在（e，3）上为减函数，在（3，e²）上为增函数，在x=3处取得极小值．进而可以得到答案．
（3）当x＞0时，f（x）=e^x-1在（0，+∞）上单调递增，且f（x）=e^x-1＞0．当x≤0时，f'（x）=x²+2mx=x（x+2m）．当m＞0时，f'（x）=x²+2mx=x（x+2m），令f'（x）=0，得x₁=-2m，x₂=0．当x＜-2m时，f'（x）＞0当-2m＜x＜0时，f'（x）＜0，f（x）在（-∞，-2m]上单调递增，在（-2m，0]上单调递减．有极值．
当m＜0时f'（x）=x²+2mx=x（x+2m）＞0，f（x）在R上是增函数，无极值
当m=0时f'（x）=x²≥0，f（x）在R上是增函数，无极值．

解答：解：（1）当x≤0时，f(x)=

1

3

x3+mx2，f(-1)=m-

1

3

f'（x）=x²+2mx，f'（-1）=1-2m
函数f（x）在（-1，f（-1））处的切线方程为：y-(m-

1

3

)=(1-2m)(x+1)
整理得：（3-6m）x-3y+2-3m=0
所以有

3-6m=1 2-3m=1

，
解得m=

1

3

．
（2）当x＞0时，f（x）+1=e^x，
所以g^-1（x）=lnx（x＞1），h(x)=

1

3

x-g-1(x)=

1

3

x-lnx(x＞1)，h′(x)=

1

3

-

1

x

=

x-3

3x

令h'（x）＞0得x＞3；令h'（x）＜0得1＜x＜3，令h'（x）=0得x=3，
故知函数h（x）在区间（1，3）上为减函数，在区间（3，+∞）为增函数，在x=3处取得极小值，
进而可知h（x）在（e，3）上为减函数，在（3，e²）上为增函数，在x=3处取得极小值．
又∵h(e)=

e

3

-1＜0，h(3)=1-ln3＜0，h(e2)=

e2

3

-2＞0．
所以，函数h(x)=

1

3

x-g-1(x)在区间（e，3）内无零点，在区间（3，e²）有且只有一个零点
（3）当x＞0时，f（x）=e^x-1在（0，+∞）上单调递增，且f（x）=e^x-1＞0．
当x≤0时，f'（x）=x²+2mx=x（x+2m）
①若m=0，f'（x）=x²≥0，则f(x)=

1

3

x3在（-∞，0]上单调递增，且f(x)=

1

3

x3＜0．
又f（0）=0，∴f（x）在R上是增函数，无极值．
②若m＜0，f'（x）=x²+2mx=x（x+2m）＞0，则f(x)=

1

3

x3+mx2在（-∞，0]上单调递增．
同理，f（x）在R上是增函数，无极值．
③若m＞0，f'（x）=x²+2mx=x（x+2m），令f'（x）=0，得x₁=-2m，x₂=0．
当x＜-2m时，f'（x）＞0
当-2m＜x＜0时，f'（x）＜0
所以，f(x)=

1

3

x3+mx2在（-∞，-2m]上单调递增，在（-2m，0]上单调递减．
又f（x）在（0，+∞）上单调递增，故[f（x）]_极小=f（0）=0，[f(x)]极大=f(-2m)=

4

3

m3
综上，当m＞0时，[f（x）]_极小=f（0）=0，[f(x)]极大=

4

3

m2．
当m≤0时，f（x）无极值．

点评：本题考查利用导数解决极值问题，关键要注意其中分类讨论是本题的难点，由于函数是分段函数所以在讨论时要细心仔细，很大方面考查了运算能力．