Question

【题目】设函数，，．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，讨论函数与图像的交点个数．

Answer 1

【答案】(1)详见解析;(2)1个.

【解析】试题分析: （Ⅰ）对函数求导,根据导函数大于0和小于0,求其增减区间即可; （Ⅱ）构造函数,利用导数研究其图象特征,即可求得函数的零点即所要求的函数图象的交点.

试题解析:（Ⅰ）函数的定义域为．

，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增．

综上，函数的单调递增区间是，单调递减区间是．

（Ⅱ）令，，问题等价于求函数的零点个数，

，

当时，，函数为减函数，

注意到，，∴有唯一零点 .

当时，或时，；时，，

∴ 函数在和单调递减，在单调递增，

注意到，，∴有唯一零点．

综上，函数有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．