Question

（2012•宝鸡模拟）设数列{a_n}的前项n和为S_n，点(n，

Sn

n

)(n∈N+)均在函数y=2x-1的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

4

anan+1

，Tn是数列{b_n}的前n项和，求证：T_n＜1．

Answer 1

分析：（1）由题意可得s_n=2n²-n，利用n=1时a₁=s₁=1，n≥2时，a_n=s_n-s_n-1观察是合为一式，还是分段表示；
（2）由（1）知a_n=4n-3，从而可利用裂项法求得b_n=

1

4n-3

-

1

4n+1

，继而可求T_n=b₁+b₂+…+b_n的值，可证得T_n＜1．

解答：解：（1）由条件知

sn

n

=2n-1，即s_n=2n²-n．…（2分）
当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=（2n²-n）-[2（n-1）²-（n-1）]
=4n-3．…（4分）
又n=1时，a₁=s₁=1符合上式，
所以a_n=4n-3（n∈N₊）；…（6分）
证明：（2）b_n=

4

anan+1

=

4

(4n-3)(4n+1)

=（

1

4n-3

-

1

4n+1

）．…（8分）
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=[（1-

1

5

）+（

1

5

-

1

9

）+（

1

9

-

1

13

）+…+（

1

4n-3

-

1

4n+1

）]
=（1-

1

4n+1

）．…（10分）
∵n∈N₊
∴-

1

4n+1

＜0，
∴1-

1

4n+1

＜1，即T_n＜1．…（12分）

点评：本题考查数列的递推关系，考查等差数列的通项公式及数列的裂项法求和，求得a_n=4n-3是关键，属于中档题．