题目内容

设x1，x2∈R，常数a＞0，定义运算“*”：x1*x2=（x1+x2）2-（x1-x2）2．
（1）若x≥0，求动点的轨迹C的方程；
（2）若a=2，不过原点的直线l与x轴、y轴的交点分别为T，S，并且与（1）中的轨迹C交于不同的两点P，Q，试求的取值范围；
（3）设P（x，y）是平面上的任意一点，定义=．若在（1）中的轨迹C存在不同的两点A1，A2，使得d1（Ai）=成立，求实数a的取值范围．
【答案】分析：（1）动点的轨迹C的方程即，代入定义的运算，即可得轨迹C的方程
（2）由题意得y2=8x（y≥0），设直线l：x=my+c，由已知m＞0，c＜0，将S，T，P，Q的坐标代入
可知只需求xp+xq，xp•xq，将直线与曲线联立后即可得xp+xq，xp•xq，代入即得与m的函数关系，求范围即可
（3）设A1（x1，y1），A2（x2，y2），由定义=，分别计算
d1（A1），d1（A2），d2（A1），d2（A2），d1（Ai）=成立，可转化为方程在x∈[0，+∞）有两个不等的实数解，利用韦达定理得到不等式组，即可求得实数a的取值范围
解答：解：（1）设∴动点P的轨迹C的方程为：y2=4ax（y≥0）
（2）由题意得y2=8x（y≥0），设直线l：x=my+c，由已知m＞0，c＜0
则T（c，0）．S，T，P，Q都在直线l上，∴=，由题得c＜0，xP＞0，xQ＞0∴=
由消去y得x2-（2c+8m2）x+c2=0
∴∵c＜0，∴∴∴=＞2，
的取值范围是（2，+∞）
（3）由，d2（P）=|x-a|
设A1（x1，y1），A2（x2，y2），由已知有
故方程在x∈[0，+∞）有两个不等的实数解
整理得（a-1）x2-（2a2+4a）x+a3=0在x∈[0，+∞）有两个不等的实数解∴
又∵a＞0，∴a＞1
故实数a的取值范围是（1，+∞）
点评：本题综合考查了轨迹问题，直线与曲线的位置关系，一元二次方程根的分布等知识，需要有很强的理解力和运算力才可顺利求解，属难题
练习册系列答案
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设x1、x2∈R，常数a＞0，定义运算“*”：x1*x2=（ x1+x2）2-（ x1-x2）2，若x≥0，则动点P（x，
x*a
）的轨迹是（　　）
A、圆
B、椭圆的一部分
C、双曲线的一部分
D、抛物线的一部分
设x1、x2∈R，常数a＞0，定义运算“⊕”：x1⊕x2=（x1+x2）2，定义运算“?”：x1?x2=（x1-x2）2；对于两点A（x1，y1）、B（x2，y2），定义d(AB)=
y1?y2
．
（1）若x≥0，求动点P（x，
(x⊕a)-(x?a)
） 的轨迹C；
（2）已知直线l1 ： y=
1
2
x+1与（1）中轨迹C交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，若
(x1?x2)+(y1?y2)
=8
15
，试求a的值；
（3）在（2）中条件下，若直线l2不过原点且与y轴交于点S，与x轴交于点T，并且与（1）中轨迹C交于不同的两点P、Q，试求
|d(ST)|
|d(SP)|
+
|d(ST)|
|d(SQ)|
的取值范围．
设x1，x2∈R，常数a＞0，定义运算“⊕”，x1⊕x2=(x1+x2)2，定义运算“?”，x1?x2=(x1-x2)2．现有x≥0，则动点P(x，
(x⊕a)-(x?a)
)的轨迹方程是
y2=4ax（y≥0）
y2=4ax（y≥0）
．
设x1，x2∈R，常数a＞0，定义运算“*”：x1*x2=（x1+x2）2-（x1-x2）2．
（1）若x≥0，求动点P(x，
x*a
)的轨迹C的方程；
（2）若a=2，不过原点的直线l与x轴、y轴的交点分别为T，S，并且与（1）中的轨迹C交于不同的两点P，Q，试求
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ST
|
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SP
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+
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ST
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|
SQ
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的取值范围．
设x1，x2∈R，常数a＞0，定义运算“*”：x1*x2=（x1+x2）2-（x1-x2）2．
（1）若x≥0，求动点P(x，
x*a
)的轨迹C的方程；
（2）若a=2，不过原点的直线l与x轴、y轴的交点分别为T，S，并且与（1）中的轨迹C交于不同的两点P，Q，试求
|
ST
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SP
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+
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ST
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SQ
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的取值范围；
（3）设P（x，y）是平面上的任意一点，定义d1(P)=
1
2
(x*x)+(y*y)
，d2(P)=
1
2
(x-a)*(x-a)
．若在（1）中的轨迹C存在不同的两点A1，A2，使得d1（Ai）=
a
d2(Ai)(i=1，2)成立，求实数a的取值范围．

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