题目内容

设x1、x2∈R，常数a＞0，定义运算“*”：x1*x2=（ x1+x2）2-（ x1-x2）2，若x≥0，则动点P（x，
x*a
）的轨迹是（　　）
A、圆
B、椭圆的一部分
C、双曲线的一部分
D、抛物线的一部分
分析：设P（x1，y1），欲求出动点P的轨迹方程，只须求出x，y的关系式即可，结合新定义运算，即可求得动点P（x，
x*a
）的轨迹方程，从而得出其轨迹．
解答：解：∵x1*x2=（x1+x2）2-（x1-x2）2，
∴
x*a
=
(x+a)2-(x-a)2
=2
ax
．
则P（x，2
ax
）．设P（x1，y1），
即
x1=x
y1=2
ax

消去x得y12=4ax1（x1≥0，y1≥0）．
故点P的轨迹为抛物线的一部分．
故选D．
点评：本题考查轨迹方程，利用的是直接法，直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．
练习册系列答案
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设x1、x2∈R，常数a＞0，定义运算“⊕”：x1⊕x2=（x1+x2）2，定义运算“?”：x1?x2=（x1-x2）2；对于两点A（x1，y1）、B（x2，y2），定义d(AB)=
y1?y2
．
（1）若x≥0，求动点P（x，
(x⊕a)-(x?a)
） 的轨迹C；
（2）已知直线l1 ： y=
1
2
x+1与（1）中轨迹C交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，若
(x1?x2)+(y1?y2)
=8
15
，试求a的值；
（3）在（2）中条件下，若直线l2不过原点且与y轴交于点S，与x轴交于点T，并且与（1）中轨迹C交于不同的两点P、Q，试求
|d(ST)|
|d(SP)|
+
|d(ST)|
|d(SQ)|
的取值范围．
设x1，x2∈R，常数a＞0，定义运算“⊕”，x1⊕x2=(x1+x2)2，定义运算“?”，x1?x2=(x1-x2)2．现有x≥0，则动点P(x，
(x⊕a)-(x?a)
)的轨迹方程是
y2=4ax（y≥0）
y2=4ax（y≥0）
．
设x1，x2∈R，常数a＞0，定义运算“*”：x1*x2=（x1+x2）2-（x1-x2）2．
（1）若x≥0，求动点P(x，
x*a
)的轨迹C的方程；
（2）若a=2，不过原点的直线l与x轴、y轴的交点分别为T，S，并且与（1）中的轨迹C交于不同的两点P，Q，试求
|
ST
|
|
SP
|
+
|
ST
|
|
SQ
|
的取值范围．
设x1，x2∈R，常数a＞0，定义运算“*”：x1*x2=（x1+x2）2-（x1-x2）2．
（1）若x≥0，求动点P(x，
x*a
)的轨迹C的方程；
（2）若a=2，不过原点的直线l与x轴、y轴的交点分别为T，S，并且与（1）中的轨迹C交于不同的两点P，Q，试求
|
ST
|
|
SP
|
+
|
ST
|
|
SQ
|
的取值范围；
（3）设P（x，y）是平面上的任意一点，定义d1(P)=
1
2
(x*x)+(y*y)
，d2(P)=
1
2
(x-a)*(x-a)
．若在（1）中的轨迹C存在不同的两点A1，A2，使得d1（Ai）=
a
d2(Ai)(i=1，2)成立，求实数a的取值范围．

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