题目内容
设x1，x2∈R，常数a＞0，定义运算“*”：x1*x2=（x1+x2）2-（x1-x2）2．
（1）若x≥0，求动点P(x，
)的轨迹C的方程；
（2）若a=2，不过原点的直线l与x轴、y轴的交点分别为T，S，并且与（1）中的轨迹C交于不同的两点P，Q，试求
+
的取值范围．
（1）若x≥0，求动点P(x，
| x*a |
（2）若a=2，不过原点的直线l与x轴、y轴的交点分别为T，S，并且与（1）中的轨迹C交于不同的两点P，Q，试求
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分析：（1）设P（x1，y1），欲求出动点P的轨迹方程，只须求出x，y的关系式即可，结合新定义运算．动点 P(x，
)的轨迹C的方程即 y=
，代入定义的运算，即可得轨迹C的方程
（2）由题意得y2=8x（y≥0），设直线l：x=my+c，由已知m＞0，c＜0，将S，T，P，Q的坐标代入
+
可知只需求xp+xq，xp•xq，将直线与曲线联立后即可得xp+xq，xp•xq，代入即得
+
与m的函数关系，求范围即可
| x*a |
| x*a |
（2）由题意得y2=8x（y≥0），设直线l：x=my+c，由已知m＞0，c＜0，将S，T，P，Q的坐标代入
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解答：解：（1）设y=
=
=
∴动点P的轨迹C的方程为：y2=4ax（y≥0）…6
（2）由题意得y2=8x（y≥0），设直线l：x=my+c，由已知m＞0，c＜0
则T（c，0）．S，T，P，Q都在直线l上，
∴
+
=
+
=|c|(
+
)，
由题得c＜0，xP＞0，xQ＞0
∴
+
=-c(
+
)=
由
消去y得x2-（2c+8m2）x+c2=0
∴
∵c＜0，∴m2＞-
c∴
＜-
∴
+
=2-
＞2
即
+
的取值范围是（2，+∞）…（14分）
| x*a |
| (x+a)2-(x-a)2 |
| 4ax |
（2）由题意得y2=8x（y≥0），设直线l：x=my+c，由已知m＞0，c＜0
则T（c，0）．S，T，P，Q都在直线l上，
∴
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| |0-c| |
| |xP-0| |
| |0-c| |
| |xQ-0| |
| 1 |
| |xP| |
| 1 |
| |xQ| |
由题得c＜0，xP＞0，xQ＞0
∴
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| 1 |
| xP |
| 1 |
| xQ |
| -c(xP+xQ) |
| xPxQ |
由
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∴
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∵c＜0，∴m2＞-
| 1 |
| 2 |
| m2 |
| c |
| 1 |
| 2 |
∴
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| 8m2 |
| c |
即
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点评：本题的考点是轨迹方程，主要考查轨迹方程，利用新定义，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程，考查了直线与曲线的位置关系，一元二次方程根的分布等知识，属于中档题
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）的轨迹是（ ）
| x*a |
| A、圆 |
| B、椭圆的一部分 |
| C、双曲线的一部分 |
| D、抛物线的一部分 |