题目内容
【题目】已知动圆过定点
且与
轴相切,点
关于圆心
的对称点为
,点
的轨迹为
.
(1)求曲线的方程;
(2)一条直线经过点,且交曲线
于
、
两点,点
为直线
上的动点.
①求证:不可能是钝角;
②是否存在这样的点,使得
是正三角形?若存在,求点
的坐标:否则,说明理由.
【答案】(1);(2)①证明见详解;②存在,
.
【解析】
(1)设出E点的坐标,根据EF中点为M,MF的距离等于M点纵坐标的绝对值,整理化简即可求得;
(2)①将证明钝角的问题,转化为是否可以成立的问题,从而进行证明;
②假设存在这样的点,则C点到AB中点的距离等于,据此求解.
(1)设,由
在圆上,且点
关于圆心
的对称点为
.
故
所以,则
化简得,
所以曲线的方程为
(2)①设直线:
,
,
,
,
所以,
,
,
,
+1
故不可能为钝角
②假设存在这样的点,设
中点为
由①知
由,故
得
所以
又
由,得
所以存在点满足题意.
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