题目内容
【题目】已知椭圆的两个焦点与短轴的一个顶点构成底边为
,顶角为
的等腰三角形.
(1)求椭圆的方程;
(2)设、
、
是椭圆上三动点,且
,线段
的中点为
,
,求
的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】分析:(1)两个焦点与短轴的一个顶点构成底边为,顶角为
的等腰三角形.说明
,再由直角三角形得
,从而可得
值,得标准方程;
(2)关键是把表示为一个变量的函数,当直线
斜率不存在时,可直接求出
的长,当直线
斜率存在时,设其方程为
,与椭圆方程联立方程组,变形后由判别式写出一个不等关系,并设
,由韦达定理得出
,由
表示出
点坐标代入椭圆方程得
,代入刚才的
得
的关系式:
,它满足判别式>0,计算
中点
的坐标,再计算线段长
,最终表示为
的函数,从而中求得取值范围.
详解:(1)由题意,,
,∴
,
∴椭圆
(2)设,
,
,
由
∴,得:
当的斜率不存在时,
,
由,
,得
,∴
,
当的斜率存在时,设
得:
,
,
由点在椭圆上得
得:
,此时
总成立
又,
∴,
∴且
,∴
且
综上:
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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