Question

【题目】设函数有两个极值点，，且．

（）求的取值范围，并讨论的单调性．

（）证明：．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）见解析.

【解析】试题分析 : （1）先确定函数的定义域然后求导数，由题意知，是方程的两个均大于-1的不相等的实根，建立不等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式 和，求出单调区间；
（2）是方程的根，将用表示，消去得到关于的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可证得不等式．

试题解析 :

（）由题意知，函数的定义域是，

，

且有两个不同的实数根，，故的判别式，即，且，，①

又，故．因此的取值范围是．

当变化时与的变化情况如下表：

		极大值		极小值

因此在区间和是增函数，在上是减函数．

（）由题意和①知，，，

于是．

设函数，则．

当时，，

当时，，故在上是增函数．

于是，当，．因此.