Question

（2012•包头一模）下列命题错误的是（　　）

• A．命题“若x²+y²=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x²+y²≠0”
• B．若命题p：?x0∈R，

  x

  2 0

  -x0+1≤0，则?p：?x∈R，x²-x+1＞0
• C．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件
• D．若向量

  a

  ，

  b

  满足

  a

  ?

  b

  ＜0，则

  a

  与

  b

  的夹角为钝角

Answer 1

分析：A．我们知道：命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，同时注意“x=y=0”的否定是“x，y中至少有一个不为0”，据此可以判断出A的真假．
B．依据“命题：?x₀∈R，结论p成立”，则￢p为：“?x∈R，结论p的反面成立”，可以判断出B的真假．
C．由于sinA-sinB=2cos

A+B

2

sin

A-B

2

，因此在△ABC中，sinA＞sinB?sin

A-B

2

＞0?A＞B．由此可以判断出C是否正确．
D．由向量

a

•

b

=|

a

||

b

|cos＜

a

，

b

＞＜0，可得

a

与

b

的夹角

π

2

＜

a

，

b

＞≤π，可以判断出D是否正确．

解答：解：A．依据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，可知：命题“若x²+y²=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x²+y²≠0”．可判断出A正确．
B．依据命题的否定法则：“命题：?x₀∈R，

x

2 0

-x₀+1≤0”的否定应是“?x∈R，x²-x+1＞0”，故B是真命题．
C．由于sinA-sinB=2cos

A+B

2

sin

A-B

2

，在△ABC中，∵0＜A+B＜π，∴0＜

A+B

2

＜

π

2

，∴0＜cos

A+B

2

＜1，
又0＜B＜A＜π，∴0＜A-B＜π，∴0＜

A-B

2

＜

π

2

，∴0＜sin

A-B

2

＜1．
据以上可知：在△ABC中，sinA＞sinB?sin

A-B

2

＞0?A＞B．故在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件．
因此C正确．
D．由向量

a

•

b

=|

a

||

b

|cos＜

a

，

b

＞＜0，∴cos＜

a

，

b

＞＜0，∴

a

与

b

的夹角

π

2

＜

a

，

b

＞≤π，
∴向量

a

与

b

的夹角不一定是钝角，亦可以为平角π，∴可以判断出D是错误的．
故答案是D．

点评：本题综合考查了四种命题之间的关系、命题的否定、三角形中的角大小与其相应的正弦值之间的大小关系、向量的夹角，解决问题的关键是熟练掌握其有关基础知识．