题目内容

(2012•包头一模)在平面直角坐标系xoy中,曲线C1的参数方程为 
x=acosφ
y=bsinφ
(a>b>0,?为参数),在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2是圆心在极轴上,且经过极点的圆.已知曲线C1上的点M(1,
3
2
)对应的参数φ=
π
3
,曲线C2过点D(1,
π
3
).
(Ⅰ)求曲线C1,C2的直角坐标方程;
(Ⅱ)若点A(ρ 1,θ),B(ρ 2,θ+
π
2
) 在曲线C1上,求
1
ρ
2
1
+
1
ρ
2
2
的值.
分析:(I)将M(1,
3
2
)
及对应的参数?=
π
3
,代入曲线C1的参数方程,求出a、b的值,可得曲线C1的方程.把点D的
极坐标化为直角坐标代入圆C2的方程为(x-R)2+y2=R2 ,求得R=1,即可得到曲线C2的方程.
(II)把A、B两点的极坐标化为直角坐标,代入曲线C1的方程可得
ρ
2
1
cos2θ
4
+
ρ
2
1
sin2θ=1
ρ
2
2
sin2θ
4
+
ρ
2
2
cos2θ=1
,从而求得
1
ρ
2
1
+
1
ρ
2
2
的值.
解答:解:(I)将M(1,
3
2
)
及对应的参数?=
π
3
,代入
x=acos?
y=bsin?
,得
1=acos
π
3
3
2
=bsin
π
3
,即
a=2
b=1

所以曲线C1的方程为
x2
4
+y2=1

设圆C2的半径为R,由题意圆C2的方程为(x-R)2+y2=R2
由D的极坐标 (1,
π
3
)
,得D(
1
2
3
2
)
,代入(x-R)2+y2=R2,解得R=1,
所以曲线C2的方程为(x-1)2+y2 =1.
(II)因为点A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+
π
2
)
在曲线C1上,又点A的直角坐标为(ρ1cosθ,ρ1sinθ),
点B的横坐标为ρ2 cos(θ+
π
2
)=-ρ2sinθ,点B的纵坐标为ρ2sin(θ+
π
2
)=ρ2cosθ,
所以
ρ
2
1
cos2θ
4
+
ρ
2
1
sin2θ=1
ρ
2
2
sin2θ
4
+
ρ
2
2
cos2θ=1

所以
1
ρ
2
1
+
1
ρ
2
2
=(
cos2θ
4
+sin2θ)+(
sin2θ
4
+cos2θ)=
5
4
.(10分)
点评:本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法,把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,属于基础题.
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