题目内容
设数列{an}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，点(n，| Sn |
| n |
| an |
| 2x |
（Ⅰ）求a1，a2，a3及数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ）将数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7，a8，a9，a10）；（a11），（a12，a13），（a14，a15，a16），（a17，a18，a19，a20）；（a21），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{bn}，求b5+b100的值；
（Ⅲ）令g(n)=(1+
| 2 |
| an |
分析：（I）由题意因为点(n，
)在函数f(x)=x+
的图象上，所以可以求出Sn=n2+
an，由此猜想：an=2n，利用数学归纳法即可求证；
（II）因为an=2n（n∈N*），所以数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b100是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20，同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20，利用等差数列的通项公式即可；
（III）由（I）中知an=2n，∴g(n)=(1+
)n=(1+
)n，当n=1时，f（1）=2∈[2，3）；n≥2时，(1+
)n=
(
)0+
(
)1+
(
)2+
(
)n，利用二项式定理进行适当放缩即可得证．
| Sn |
| n |
| an |
| 2x |
| 1 |
| 2 |
（II）因为an=2n（n∈N*），所以数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b100是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20，同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20，利用等差数列的通项公式即可；
（III）由（I）中知an=2n，∴g(n)=(1+
| 2 |
| an |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
| C | 0 n |
| 1 |
| n |
| C | 1 n |
| 1 |
| n |
| C | 2 n |
| 1 |
| n |
| C | n n |
| 1 |
| n |
解答：解：（I）因为点(n，
)在函数f(x)=x+
的图象上，
故
=n+
，所以Sn=n2+
an．令n=1，得a1=1+
a1，所以a1=2；
令n=2，得a1+a2=4+
a2，a2=4；令n=3，得a1+a2+a3=9+
a3，a3=6．
由此猜想：an=2n．
用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，有上面的求解知，猜想成立．
②假设n=k（k≥1，k∈N*）时猜想成立，即ak=2k成立，
则当n=k+1时，注意到Sn=n2+
an（n∈N*），
故Sk+1=(k+1)2+
ak+1，Sk=k2+
ak．
两式相减，得ak+1=2k+1+
ak+1-
ak，所以ak+1=4k+2-ak．
由归纳假设得，ak=2k，故ak+1=4k+2-ak=4k+2-2k=2（k+1）．
这说明n=k+1时，猜想也成立．
由①②知，对一切n∈N*，an=2n成立．
（II）因为an=2n（n∈N*），所以数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），．
每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b100是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20．
同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20．
故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．
注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，
所以b100=68+24×80=1988．又b5=22，所以b5+b100=2010；
（III）有（I）中知an=2n，∴g(n)=(1+
)n=(1+
)n，
当n=1时，f（1）=2∈[2，3）；
当n≥2时，(1+
)n=
(
)0+
(
)1+…+
(
)n
显然( 1+
) n=
(
)0+
(
)1 +…
(
)n≥
(
)0+
(
)1=2
而
(
)k=
•
＜
≤
=
-
（k≥2）(1+
)n=
(
)0+
(
)1+
(
)2+
(
)n＜1+1+(1-
)+(
-
)+…+(
-
)=3-
＜3．
| Sn |
| n |
| an |
| 2x |
故
| Sn |
| n |
| an |
| 2n |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
令n=2，得a1+a2=4+
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
由此猜想：an=2n．
用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，有上面的求解知，猜想成立．
②假设n=k（k≥1，k∈N*）时猜想成立，即ak=2k成立，
则当n=k+1时，注意到Sn=n2+
| 1 |
| 2 |
故Sk+1=(k+1)2+
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
两式相减，得ak+1=2k+1+
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
由归纳假设得，ak=2k，故ak+1=4k+2-ak=4k+2-2k=2（k+1）．
这说明n=k+1时，猜想也成立．
由①②知，对一切n∈N*，an=2n成立．
（II）因为an=2n（n∈N*），所以数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），．
每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b100是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20．
同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20．
故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．
注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，
所以b100=68+24×80=1988．又b5=22，所以b5+b100=2010；
（III）有（I）中知an=2n，∴g(n)=(1+
| 2 |
| an |
| 1 |
| n |
当n=1时，f（1）=2∈[2，3）；
当n≥2时，(1+
| 1 |
| n |
| C | 0 n |
| 1 |
| n |
| C | 1 n |
| 1 |
| n |
| C | n n |
| 1 |
| n |
显然( 1+
| 1 |
| n |
| C | o n |
| 1 |
| n |
| C | 1 n |
| 1 |
| n |
| C | n n |
| 1 |
| n |
| C | 0 n |
| 1 |
| n |
| C | 1 n |
| 1 |
| n |
而
| C | k n |
| 1 |
| n |
| n(n-1)(n-2)(n-k+1) |
| nk |
| 1 |
| k! |
| 1 |
| k! |
| 1 |
| (k-1)k |
| 1 |
| (k-1) |
| 1 |
| k |
| 1 |
| n |
| C | 0 n |
| 1 |
| n |
| C | 1 n |
| 1 |
| n |
| C | 2 n |
| 1 |
| n |
| C | n n |
| 1 |
| n |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n-1 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
点评：此题考查了利用数学归纳法求解并进行证明数列的通项公式，还考查了学生的理解题意综合能力，尤其考查了利用二项式定理及不等式的放缩的能力，属于数学习题中的难题及拔高题．
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