Question

11．已知圆x²+y²-4x+2y-3=0和圆外一点M（4，-8）．
（1）求圆心坐标和半径长；
（2）过点M作直线与圆交于A，B两点，若|AB|=4，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）求出圆的标准方程，即可得到圆心与半径．
（2）设出割线的方程，利用圆心距与半径半弦长的关系，求解斜率，得到直线方程．

解答 解：（1）圆x²+y²-4x+2y-3=0化为标准方程为：（x-2）²+（y+1）²=8，
圆心为P（2，-1），半径r=2$\sqrt{2}$．（4分）
（2）①若割线斜率存在，设AB：y+8=k（x-4），即kx-y-4k-8=0．
设AB的中点为N，则|PN|=$\frac{|2k+1-4k-8|}{\sqrt{k2+1}}$=$\frac{|2k+7|}{\sqrt{k2+1}}$，
由|PN|²+$\frac{{{{|{AB}|}^2}}}{2}$=r²，得k=-$\frac{45}{28}$，
此时AB的直线方程为45x+28y+44=0．（7分）
②若割线斜率不存在，AB：x=4，代入圆方程得y²+2y-3=0，
解得y₁=1，y₂=-3，符合题意．                                                （10分）
综上，直线AB的方程为45x+28y+44=0或x=4．（12分）

点评 本题考查直线与圆的位置关系的应用，割线方程的求法，考查计算能力．