题目内容

(2012•朝阳区二模)设函数f(x)=alnx+
2
a
2
 
x
(a≠0)

(1)已知曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l的斜率为2-3a,求实数a的值;
(2)讨论函数f(x)的单调性;
(3)在(1)的条件下,求证:对于定义域内的任意一个x,都有f(x)≥3-x.
分析:(1)由f(x)=alnx+
2
a
2
 
x
(a≠0)
,知f(x)的定义域为{x|x>0},f(x)=
a
x
-
2a2
x2
,再由曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l的斜率为2-3a,知f′(1)=a-2a2=2-3a,由此能求出a.
(2)由f(x)=
a
x
-
2a2
x2
=
a(x-2a)
x2
,利用a的取值范围进行分类讨论,能够得到函数f(x)的单调性.
(3)由(1)知,f(x)=lnx+
2
x
,设g(x)=f(x)-(3-x),则g(x)=lnx+
2
x
+x-3,g(x)=
1
x
-
2
x2
+1
=
x2+x-2
x2
=
(x-1)(x+2)
x2
,x>0.列表讨论,能够证明对于定义域内的任意一个x,都有f(x)≥3-x.
解答:解:(1)∵f(x)=alnx+
2
a
2
 
x
(a≠0)

∴f(x)的定义域为{x|x>0},
f(x)=
a
x
-
2a2
x2

∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l的斜率为2-3a,
∴f′(1)=a-2a2=2-3a,
解得a=1.
(2)f(x)=
a
x
-
2a2
x2
=
a(x-2a)
x2

①当a<0时,∵x>0,∴x-2a>0,a(x-2a)<0,
∴f′(x)<0,故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
②当a>0时,若0<x<2a,则a(x-2a)<0,f′(x)<0,
函数f(x)在(0,2a)上单调递减;
若x>2a,则a(x-2a)>0,f′(x)>0,函数在(2a,+∞)上单调递增.
综上所述,当a<0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;
当a>0时,函数f(x)在(0,2a)上单调递减,在(2a,+∞)上单调递增.
(3)由(1)知,f(x)=lnx+
2
x

设g(x)=f(x)-(3-x),则g(x)=lnx+
2
x
+x-3,
g(x)=
1
x
-
2
x2
+1
=
x2+x-2
x2
=
(x-1)(x+2)
x2
,x>0
当x变化时,g′(x),g(x)的变化如下表:
 x  (0,1)  1 (1,+∞) 
 g′(x) -  0 +
 g(x)  极小值
∴x=1是g(x)在(0,+∞)上的唯一极值点,且是极小值点,
从而也是g(x)的最小值点,
∴g(x)≥g(1)=ln1+2+1-3=0,
∴g(x)=f(x)-(3-x)≥0,
∴对于定义域内的任意一个x,都有f(x)≥3-x.
点评:本题考查满足条件的实数值的求法,考查函数的单调性的讨论,考查不等式的证明.解题时要认真审题,仔细解答,注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用.
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