Question

已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AB=1，AD=2，F为CD的中点且AF∥平面BCE．
（I） 求线段DE的长；
（II） 求直线BF和平面BCE所成角的正切值．

Answer 1

（I） 取CE的中点G，连FG、BG．
∵F为CD的中点，
∴GF∥DE且GF=

1

2

DE．
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，∴GF∥AB，
∴A，B，G，F四点共面．
又AF∥平面BCE，面ABGF∩面BCE=BG，
∴AF∥BG，∴四边形GFAB为平行四边形，
∴GF=AB．
∴DE=2AB=2．
（II）∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD．
∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF．
又CD∩DE=D，故AF⊥平面CDE．
∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE．
∵BG?平面BCE，
∴平面BCE⊥平面CDE
在平面CDE内，过F作FH⊥CE于H，连BH．
∵平面BCE⊥平面CDE，∴FH⊥平面BCE．
∴∠FBH为BF和平面BCE所成的角．
在直角△BFH中，FH=CFsin45°=

2

2

．BF=

AB2+AF2

=

1+3

=2，BH=

14

2

，
∴tan∠FBH=

FH

BH

=

7

7

．
∴直线BF和平面BCE所成角的正切值为

7

7

．