题目内容
已知向量
=(1，cosωx)，
=(sinωx，
)（ω＞0），函数f(x)=
•
，且f（x）图象上一个最高点的坐标为(
，2)，与之相邻的一个最低点的坐标为(
，-2)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，a，b，c是角A、B、C所对的边，且满足a2+c2-b2=ac，求角B的大小以及f（A）的取值范围．
| m |
| n |
| 3 |
| m |
| n |
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
（1）求f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，a，b，c是角A、B、C所对的边，且满足a2+c2-b2=ac，求角B的大小以及f（A）的取值范围．
分析：（1）由已知中向量
=(1，cosωx)，
=(sinωx，
)（ω＞0），函数f(x)=
•
，根据向量的数量积公式，结合辅助角公式，我们易将函数的解析式化为正弦型函数的形式，根据f（x）图象上一个最高点的坐标为(
，2)，与之相邻的一个最低点的坐标为(
，-2)．我们求出函数的最值及周期，进而求出A，ω，φ值即可得到f（x）的解析式；
（2）又a2+c2-b2=ac由余弦定理及求出B的大小，进而根据三角形内角和为π确定A的范围，根据正弦函数的图象和性质即可求出f（A）的取值范围．
| m |
| n |
| 3 |
| m |
| n |
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
（2）又a2+c2-b2=ac由余弦定理及求出B的大小，进而根据三角形内角和为π确定A的范围，根据正弦函数的图象和性质即可求出f（A）的取值范围．
解答：解：（1）∵向量
=(1，cosωx)，
=(sinωx，
)
∴f(x)=
•
=sinωx+
cosωx=2(
sinωx+
cosωx)=2sin(ωx+
)．--------------------------------------（2分）
∵f（x）图象上一个最高点的坐标为(
，2)，与之相邻的一个最低点的坐标为(
，-2)．
∴
=
-
=
，
∴T=π，于是ω=
=2．---------------（5分）
所以f(x)=2sin(2x+
)．---------------------------------（6分）
（2）∵a2+c2-b2=ac，∴cosB=
=
-----------------------------------7-分
又0＜B＜π，∴B=
．
∴f(A)=2sin(2A+
)--------------------------------------------（8分）
∵B=
∴0＜A＜
．于是
＜2A+
＜
，
∴sin(2A+
)∈[-1，1]．------------------------------------------------------------（10分）
所以f（A）∈[-2，2]．------------------------------------------------------------（12分）
| m |
| n |
| 3 |
∴f(x)=
| m |
| n |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
∵f（x）图象上一个最高点的坐标为(
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
∴
| T |
| 2 |
| 7π |
| 12 |
| π |
| 12 |
| π |
| 2 |
∴T=π，于是ω=
| 2π |
| T |
所以f(x)=2sin(2x+
| π |
| 3 |
（2）∵a2+c2-b2=ac，∴cosB=
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
| 1 |
| 2 |
又0＜B＜π，∴B=
| π |
| 3 |
∴f(A)=2sin(2A+
| π |
| 3 |
∵B=
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 5π |
| 3 |
∴sin(2A+
| π |
| 3 |
所以f（A）∈[-2，2]．------------------------------------------------------------（12分）
点评：本题考查的知识点是三角函数的最值，正弦型函数解析式的确定，余弦定理，其中（1）的关键是根据已知条件确定函数的最值及周期，进而求出A，ω，φ值，（2）的关键是根据已知的形式，选择使用余弦定理做为解答的突破口．
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