题目内容

已知向量
m
=(1，cosωx)，
n
=(sinωx，
3
)（ω＞0），函数f(x)=
m
•
n
，且f（x）图象上一个最高点的坐标为(
π
12
，2)，与之相邻的一个最低点的坐标为(
7π
12
，-2)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，a，b，c是角A、B、C所对的边，且满足a2+c2-b2=ac，求角B的大小以及f（A）的取值范围．
分析：（1）由已知中向量
m
=(1，cosωx)，
n
=(sinωx，
3
)（ω＞0），函数f(x)=
m
•
n
，根据向量的数量积公式，结合辅助角公式，我们易将函数的解析式化为正弦型函数的形式，根据f（x）图象上一个最高点的坐标为(
π
12
，2)，与之相邻的一个最低点的坐标为(
7π
12
，-2)．我们求出函数的最值及周期，进而求出A，ω，φ值即可得到f（x）的解析式；
（2）又a2+c2-b2=ac由余弦定理及求出B的大小，进而根据三角形内角和为π确定A的范围，根据正弦函数的图象和性质即可求出f（A）的取值范围．
解答：解：（1）∵向量
m
=(1，cosωx)，
n
=(sinωx，
3
)
∴f(x)=
m
•
n
=sinωx+
3
cosωx=2(
1
2
sinωx+
3
2
cosωx)=2sin(ωx+
π
3
)．--------------------------------------（2分）
∵f（x）图象上一个最高点的坐标为(
π
12
，2)，与之相邻的一个最低点的坐标为(
7π
12
，-2)．
∴
T
2
=
7π
12
-
π
12
=
π
2
，
∴T=π，于是ω=
2π
T
=2．---------------（5分）
所以f(x)=2sin(2x+
π
3
)．---------------------------------（6分）
（2）∵a2+c2-b2=ac，∴cosB=
a2+c2-b2
2ac
=
1
2
-----------------------------------7-分
又0＜B＜π，∴B=
π
3
．
∴f(A)=2sin(2A+
π
3
)--------------------------------------------（8分）
∵B=
π
3
∴0＜A＜
2π
3
．于是
π
3
＜2A+
π
3
＜
5π
3
，
∴sin(2A+
π
3
)∈[-1，1]．------------------------------------------------------------（10分）
所以f（A）∈[-2，2]．------------------------------------------------------------（12分）
点评：本题考查的知识点是三角函数的最值，正弦型函数解析式的确定，余弦定理，其中（1）的关键是根据已知条件确定函数的最值及周期，进而求出A，ω，φ值，（2）的关键是根据已知的形式，选择使用余弦定理做为解答的突破口．
练习册系列答案
相关题目
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知向量
m
=（a+c，b-a），
n
=（a-c，b），且
m
⊥
n
．
（1）求角C的大小；
（2）若sinA+sinB=
6
2
，求角A的值．
在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，已知向量
m
=(b，c-
2
a)，
n
=（cosC，cosB），且
m
⊥
n
．（1）求角B的大小；（2）求函数•f(x)=2sin2(B+x)-
3
cos2x(x∈R)的值域．
已知向量
m
=(1，1)，向量
n
与向量
m
夹角为
3
4
π，且
m
•
n
=-1，又A、B、C为△ABC的三个内角，且B=
π
3
，A≤B≤C．
（Ⅰ）求向量
n
；
（Ⅱ）若向量
n
与向量
q
=(1，0)的夹角为
π
2
，向量
p
=(cosA，2cos2
C
2
)，试求|
n
+
p
|的取值范围．
（2013•浦东新区二模）已知向量
m
=(1，1)，向量
n
与向量
m
的夹角为
3π
4
，且
m
•
n
=-1．
（1）求向量
n
；
（2）若向量
n
与
q
=(1，0)共线，向量
p
=(2cos2
C
2
，cosA)，其中A、C为△ABC的内角，且A、B、C依次成等差数列，求|
n
+
p
|的取值范围．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网